15.3 競争最適性

倍加率で選んだポートフォリオが良いと言えるのは，15.5 節で見るとおり，期を重ねたときの話である． $1$ 期だけを見たとき，別のポートフォリオに大きく差をつけられることはないのか．本節は， $1$ 期についてその心配に答える．短い節で，定理を一つとその系を立て，例で値を確かめるところまでである．

15.2 節が測っていたのは倍加率（定義 15.1.4），すなわち $1$ 期あたりの資産の対数の平均だった．測り方を変えれば順位も変わりうる．第5章例 5.2.4 は，同じ三つの賭け方を $1$ レースの資産の期待値で比べると倍加率での順位と食い違うことを見せ，5.5 節でその尺度を退けた．本節は三つめの測り方を試す．自分の資産そのものではなく，相手の資産との比を見る，という測り方である．対数最適ポートフォリオ（定義 15.2.3）を相手にとると，どのポートフォリオでも， $1$ 期後の資産の比は期待値が $1$ を超えない．そこで得る定理 15.3.1 は，15.4 節の定理 15.4.4 の証明の部品にもなる．

定理 15.3.1. $𝑚 \geq 1$ とし， $X$ を株価比（定義 15.1.1）からなる空でない有限集合， $𝑝$ を $X$ 上の分布， $𝑋$ を $X$ に値をとり分布 $𝑝$ に従う確率変数とし， $𝑏 \circ$ を分布 $𝑝$ についての対数最適ポートフォリオ（定義 15.2.3）とする．このとき，どのポートフォリオ（定義 15.1.2） $𝑏$ についても

𝔼 [𝑆 1 (𝑏) 𝑆 1 (𝑏 \circ)] \leq 1

である．ここで $𝑆 1 (𝑏) = \sum 𝑚 𝑗 = 1 𝑏 (𝑗) 𝑋 (𝑗)$ は，株価比の列の第 $1$ 項を $𝑋$ とした定義 15.1.3 の資産の $𝑛 = 1$ の場合である．

証明. 定理 15.2.5 を分布 $𝑝$ と $𝑏 \circ$ に当てると， $𝑏 \circ$ は 15.2 節の Kuhn–Tucker 条件を満たす．すなわちすべての $𝑗 \in {1, \dots, 𝑚}$ について $\sum 𝑥 \in X 𝑝 (𝑥) 𝑥 (𝑗) / \sum 𝑚 𝑘 = 1 𝑏 \circ (𝑘) 𝑥 (𝑘) \leq 1$ である．

補題 15.1.5 より，どの $𝑥 \in X$ でも $\sum 𝑚 𝑘 = 1 𝑏 \circ (𝑘) 𝑥 (𝑘) > 0$ だから，比は定まる． $𝑋$ の分布は $𝑝$ だから，期待値は $𝑥$ についての和になり，分子の和を外に出して和の順序を入れ替えると

𝔼 [𝑆 1 (𝑏) 𝑆 1 (𝑏 \circ)] = \sum 𝑥 \in X 𝑝 (𝑥) \sum 𝑚 𝑗 = 1 𝑏 (𝑗) 𝑥 (𝑗) \sum 𝑚 𝑘 = 1 𝑏 \circ (𝑘) 𝑥 (𝑘) = 𝑚 \sum 𝑗 = 1 𝑏 (𝑗) \sum 𝑥 \in X 𝑝 (𝑥) 𝑥 (𝑗) \sum 𝑚 𝑘 = 1 𝑏 \circ (𝑘) 𝑥 (𝑘)

となる． $𝑏 (𝑗) \geq 0$ と上の $𝑚$ 本の不等式から，右辺は $\sum 𝑚 𝑗 = 1 𝑏 (𝑗) = 1$ 以下である． $◼$

形式化: competitive_optimality (ソース)

形式化上の注記. 宣言が $𝑏 \circ$ に課すのは，対数最適性ではなく 15.2 節の Kuhn–Tucker 条件の $𝑚$ 本の不等式である．本文の対数最適性からその $𝑚$ 本が出ることは，上の証明のとおり定理 15.2.5 が与え，そちらも無条件の機械検証済みである．宣言はさらに $𝑝$ が分布であることも仮定せず， $𝑏$ が単体に入ることとその $𝑚$ 本だけを仮定に置く．結論も期待値ではなく，株価比 $𝑥$ ごとの資産倍率の比に重み $𝑝 (𝑥)$ を掛けた有限和が $1$ 以下である，という形である． $𝑝$ を分布と仮定しない以上この和はそもそも期待値ではなく， $𝑝$ が分布で $𝑋$ の分布が $𝑝$ であるときに本文の期待値になる．

Kuhn–Tucker 条件を重みつきで足しただけである. 比の期待値は，銘柄 $𝑗$ ごとの条件の左辺に重み $𝑏 (𝑗)$ を掛けて足した形をしている．各行が $1$ 以下で重みの総和が $1$ なのだから，全体も $1$ 以下になる．15.2 節では同じ条件を，どこへ乗り換えても平均として得をしないという意味で読んだ．定理 15.3.1 はその読み方を対数を通さずに述べたもので，条件を定理 15.2.5 で取り出したあとの議論には，凹性も Jensen の不等式も要らない．

期待値についてのこの評価は，そのまま確率についての評価になる．非負の量の期待値が $1$ 以下なら，その量が $𝑡$ 以上になる確率は $1 / 𝑡$ 以下だからである．これは Markov の不等式で，次の証明はその一般形を借りずに，有限和のまま二行で導く．

系 15.3.2（競争最適性）. $𝑚 \geq 1$ とし， $X$ を株価比（定義 15.1.1）からなる空でない有限集合， $𝑝$ を $X$ 上の分布， $𝑋$ を $X$ に値をとり分布 $𝑝$ に従う確率変数とし， $𝑏 \circ$ を分布 $𝑝$ についての対数最適ポートフォリオ（定義 15.2.3）とする．このとき，どのポートフォリオ（定義 15.1.2） $𝑏$ と，どの正の実数 $𝑡$ についても

P r [𝑆 1 (𝑏) \geq 𝑡 𝑆 1 (𝑏 \circ)] \leq 1 𝑡

である（ $𝑆 1$ は定理 15.3.1 のとおり定義 15.1.3 の資産の $𝑛 = 1$ の場合である）．

証明. $𝑥 \in X$ について

𝑍 (𝑥) : = \sum 𝑚 𝑗 = 1 𝑏 (𝑗) 𝑥 (𝑗) \sum 𝑚 𝑘 = 1 𝑏 \circ (𝑘) 𝑥 (𝑘)

とおく．補題 15.1.5 より分子も分母も正だから $𝑍 (𝑥) > 0$ である． $𝐴 : = {𝑥 \in X ∣ 𝑍 (𝑥) \geq 𝑡}$ とおくと，分母が正だから $𝑥 \in 𝐴$ であることと $\sum 𝑗 𝑏 (𝑗) 𝑥 (𝑗) \geq 𝑡 \sum 𝑘 𝑏 \circ (𝑘) 𝑥 (𝑘)$ であることは同じで，主張の左辺は $\sum 𝑥 \in 𝐴 𝑝 (𝑥)$ に等しい．

$X$ は有限で，どの $𝑥$ でも $𝑝 (𝑥) \geq 0$ かつ $𝑍 (𝑥) > 0$ だから，和の一部を落として

𝔼 [𝑆 1 (𝑏) 𝑆 1 (𝑏 \circ)] = \sum 𝑥 \in X 𝑝 (𝑥) 𝑍 (𝑥) \geq \sum 𝑥 \in 𝐴 𝑝 (𝑥) 𝑍 (𝑥) \geq 𝑡 \sum 𝑥 \in 𝐴 𝑝 (𝑥)

を得る（第 $2$ の不等号は $𝐴$ の上で $𝑍 (𝑥) \geq 𝑡$ であることによる）．定理 15.3.1 より左端は $1$ 以下だから $𝑡 \sum 𝑥 \in 𝐴 𝑝 (𝑥) \leq 1$ であり， $𝑡 > 0$ で割れば主張を得る． $◼$

形式化上の注記. 確率の言葉で書いた系 15.3.2 に対応する単独の宣言はない．測度が集合に返す値の上界を結論にもつ宣言を結論の形で探すと，別の主張の証明の中に足場として現れる Markov 型の評価が見つかるだけで，公開された宣言にはなっていない．機械検証が及ぶのは定理 15.3.1 の期待値の形までで，そこから系 15.3.2 を出す二行は形式化されていない．

系 15.3.2 は「相手の $𝑡$ 倍を出し抜く確率は $1 / 𝑡$ 以下」と読める． $𝑡 = 2$ なら， $1$ 期で対数最適ポートフォリオの $2$ 倍以上の資産を手にする確率は $1 / 2$ 以下， $𝑡 = 10$ なら $1 / 10$ 以下である．出し抜くこと自体は起こりうるが，出し抜き方 $𝑡$ が大きいほど，確率の上界はそれに反比例して小さくなる． $𝑡 \leq 1$ では右辺が $1$ 以上になるので，そこでは評価が何も言っていない．中身があるのは $𝑡 > 1$ の側である．

例 15.3.3（上界が届くときと届かないとき）. 例 15.2.7 の市場で， $𝑏 \circ$ を例 15.2.7 の対数最適ポートフォリオ， $𝑏$ を全額を銘柄 $3$ に寄せたポートフォリオ（ $𝑏 (3) = 1$ ， $𝑏 (1) = 𝑏 (2) = 0$ ）とすると，定理 15.3.1 の左辺の値は $0.9$ である．いっぽう例 15.1.6 の市場で $𝑏 \circ$ を例 15.2.6 の対数最適ポートフォリオとすると，どのポートフォリオ $𝑏$ についても定理 15.3.1 の左辺の値はちょうど $1$ である．同じ市場で $𝑏$ を全額を銘柄 $2$ に寄せたポートフォリオ（ $𝑏 (1) = 0$ ， $𝑏 (2) = 1$ ）にとり $𝑡 = 4 / 3$ とすると，系 15.3.2 の左辺の確率は $1 / 2$ ，右辺の上界は $3 / 4$ である．

証明. どちらの市場でも， $𝑋$ の分布が $𝑝$ であることと，分子の和を外に出して和の順序を入れ替えることから

𝔼 [𝑆 1 (𝑏) 𝑆 1 (𝑏 \circ)] = 𝑚 \sum 𝑗 = 1 𝑏 (𝑗) \sum 𝑥 \in X 𝑝 (𝑥) 𝑥 (𝑗) \sum 𝑚 𝑘 = 1 𝑏 \circ (𝑘) 𝑥 (𝑘)

である．例 15.2.7 の市場で $𝑏 (3) = 1$ ，ほかを $0$ にとると，右辺は $𝑗 = 3$ の項だけになり，例 15.2.7 が計算したとおり $0.9$ である．例 15.1.6 の市場では，例 15.2.6 より $𝑗 = 1$ と $𝑗 = 2$ の内側の和がどちらも $1$ だから，右辺は $\sum 2 𝑗 = 1 𝑏 (𝑗) = 1$ になる．

確率のほうに移る．例 15.1.6 の計算より $𝑏 \circ$ の資産倍率は $𝑥 ↑$ で $3 / 2$ ， $𝑥 ↓$ で $3 / 4$ であり，全額を銘柄 $2$ に寄せた $𝑏$ の資産倍率は $𝑥 ↑$ で $2$ ， $𝑥 ↓$ で $1 / 2$ である．よって比は $𝑥 ↑$ で $2 / (3 / 2) = 4 / 3$ ， $𝑥 ↓$ で $(1 / 2) / (3 / 4) = 2 / 3$ である． $4 / 3$ 以上になるのは $𝑥 ↑$ が出たときだけだから，その確率は $𝑝 (𝑥 ↑) = 1 / 2$ である．いっぽう $𝑡 = 4 / 3$ での系 15.3.2 の上界は $1 / 𝑡 = 3 / 4$ である． $◼$

例 15.3.3 の二つめのとおり，例 15.1.6 の市場では定理 15.3.1 の不等号がどのポートフォリオについても等号になる．どんな賭け方をしても， $1$ 期の資産の比は平均としてちょうど釣り合うということである．したがって定理 15.3.1 の右辺を $1$ より小さい数に取り替えると，その主張はこの市場で偽になる．例 15.2.7 の市場のように，確実に減る銘柄に全額を寄せれば左辺は $1$ を下回る．いっぽう系 15.3.2 の $1 / 𝑡$ という上界のほうは，例 15.3.3 の三つめのとおり，届かないことがある．この上界をこれ以上よくできるかどうかを，本書は述べない．

期を重ねたときに資産がどう動くかは，15.5 節以降で扱う．

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