15.2 対数最適ポートフォリオ

第5章定理 5.2.1 は，倍加率を最大にする賭け金の配分が真の分布そのもの，すなわち比例賭けであることを示した．証明は短く，二つの倍加率の差をとるとオッズの項が引き算で消え，相対エントロピーが残る，というものだった．市場ではこの計算が動かない．資産倍率が $𝑚$ 個の項の和になったので，倍加率の差が相対エントロピーの形に落ちないからである．本書は市場について，最大を与えるポートフォリオを閉じた式では与えず，代わりに二つのことを示す．一つは倍加率がポートフォリオについて凹であること，もう一つは，最大を与えるポートフォリオが $𝑚$ 本の不等式で言い表せることである．

積が和に変わったために，第5章から消えるものもある．本章の市場にはオッズにあたる量がないので，公平なオッズ（定義 5.3.3）や胴元の取り分（命題 5.3.6）に対応する概念も出てこない．第5章定理 5.3.1 の保存則，すなわち比例賭けの倍加率と勝ち馬のエントロピーの和がオッズと分布だけで決まる量になるという等式についても，本書は市場にあたるものを与えない．あの等式は，比例賭けの $1$ レースの倍率が分布の値とオッズの積であることを使い，その対数を二つに割ったところから出てくる．市場の資産倍率は積ではなく $𝑚$ 項の和である．

倍加率は凹である

定理 15.2.1（倍加率の凹性）. $𝑚 \geq 1$ とし， $X$ を株価比（定義 15.1.1）からなる空でない有限集合， $𝑝$ を $X$ 上の分布とする． $𝑏 0$ ， $𝑏 1$ をポートフォリオ（定義 15.1.2）， $𝜆$ を $0 \leq 𝜆 \leq 1$ を満たす実数とし， $𝑏 𝜆 (𝑗) : = (1 - 𝜆) 𝑏 0 (𝑗) + 𝜆 𝑏 1 (𝑗)$ （ $𝑗 = 1, \dots, 𝑚$ ）とおく．このとき $𝑏 𝜆$ はポートフォリオであり，倍加率（定義 15.1.4）について

𝑊 (𝑏 𝜆, 𝑝) \geq (1 - 𝜆) 𝑊 (𝑏 0, 𝑝) + 𝜆 𝑊 (𝑏 1, 𝑝)

が成り立つ．

証明. まず $𝑏 𝜆$ がポートフォリオであることを見る． $𝑏 0 (𝑗) \geq 0$ ， $𝑏 1 (𝑗) \geq 0$ で $1 - 𝜆 \geq 0$ ， $𝜆 \geq 0$ だから $𝑏 𝜆 (𝑗) \geq 0$ であり，総和は $(1 - 𝜆) \sum 𝑗 𝑏 0 (𝑗) + 𝜆 \sum 𝑗 𝑏 1 (𝑗) = (1 - 𝜆) + 𝜆 = 1$ である．

$𝑥 \in X$ を一つ固定し， $𝑠 0 : = \sum 𝑚 𝑗 = 1 𝑏 0 (𝑗) 𝑥 (𝑗)$ ， $𝑠 1 : = \sum 𝑚 𝑗 = 1 𝑏 1 (𝑗) 𝑥 (𝑗)$ とおく．補題 15.1.5 よりどちらも正である． $𝑏 𝜆$ の資産倍率は

𝑚 \sum 𝑗 = 1 𝑏 𝜆 (𝑗) 𝑥 (𝑗) = (1 - 𝜆) 𝑠 0 + 𝜆 𝑠 1

であり，正の二数 $𝑠 0$ ， $𝑠 1$ の凸結合になっている．補題 1.1.6 の $l o g$ の狭義凹性を，この $2$ 点に当てると

l o g ((1 - 𝜆) 𝑠 0 + 𝜆 𝑠 1) \geq (1 - 𝜆) l o g 𝑠 0 + 𝜆 l o g 𝑠 1

を得る．両辺に $𝑝 (𝑥) \geq 0$ を掛けて $𝑥$ について足せば，定義 15.1.4 より主張の不等式になる． $◼$

形式化: growthRate_concaveOn (ソース)

山が一つであること. 凹性が言っているのは，二つのポートフォリオを混ぜたものの倍加率が，混ぜる前の二つの倍加率を同じ重みで混ぜた値を下回らない，すなわち弦がグラフの下に来るということである．山が二つに割れることがないので，全体の最大がどこかを，その場で確かめられる条件だけで言い当てられる見込みが出てくる．凹関数では，どの向きに少し動かしても値が上がらない点が，そのまま全体の最大点になるからである．第5章では最大を与える配分が比例賭けだと分かっていたので，この見込みに頼る必要がなかった．市場では最大を与えるものを直に指す式がないので，代わりに，最大であることの目印を作ることになる．目印そのものは定理 15.2.4 と定理 15.2.5 が与える．そこで並ぶ $𝑚$ 本の不等式は，銘柄 $𝑗$ の向きへ少し動かしても値が上がらない，という条件を $𝑚$ 通りの向きについて書き並べたものである．定理 15.2.5 の証明が実際にその向きへ動かしており，定理 15.2.4 は逆に， $𝑚$ 本がそろえば全体の最大であることを示す．ただし定理 15.2.4 の証明が直に使うのは補題 1.1.9 であって，倍加率の凹性そのものではない．凹性はここで， $𝑚$ 本の不等式という形の目印を探してよい，という見通しを与えている．

最大は達成される

Weierstrass の最大値定理を借りる. 借りるのは「有限次元の実ベクトル空間の空でない有界閉集合の上の実数値連続関数は最大値をとる」という形である．当てる対象は，実ベクトル空間 $ℝ 𝑚$ の部分集合であるポートフォリオ全体の上の実数値関数で，直接当てるのは命題 15.2.2 の証明と，後知恵の最良の資産が達成されることを見る命題 15.8.5 の証明の二つだけである．本章のほかの主張は，この二つを経由してのみこの定理に依存する．第6章 6.1 節が通信路容量の達成（定理 6.1.5）のために，第9章 9.1 節がレート歪み関数の下限が最小値であること（命題 9.1.8）のために，第11章 11.5 節が Chernoff 情報の達成（命題 11.5.7）のために借りたのと同じ定理である．本書はこの最大値定理を証明しないが，形式化されていないわけではない．第6章定理 6.1.5 の形式化が，Mathlib にある無条件の機械検証済みのこの定理をそのまま呼び出している．あわせて，微積分の計算規則（一次結合・商・合成・有限和が連続性を保つこと）を既知とする．

命題 15.2.2. $𝑚 \geq 1$ とし， $X$ を株価比（定義 15.1.1）からなる空でない有限集合， $𝑝$ を $X$ 上の分布とする．このとき，どのポートフォリオ（定義 15.1.2） $𝑏$ についても $𝑊 (𝑏, 𝑝) \leq 𝑊 (𝑏 \circ, 𝑝)$ を満たすポートフォリオ $𝑏 \circ$ が存在する（ $𝑊$ は定義 15.1.4 の倍加率である）．

証明. ポートフォリオ全体は， $1$ から $𝑚$ までの番号に実数を割り当てる組の集合，すなわち実ベクトル空間 $ℝ 𝑚$ の部分集合である． $𝑚 \geq 1$ だから銘柄 $1$ に全額を寄せた組が入っていて空ではなく，どのポートフォリオでも $0 \leq 𝑏 (𝑗) \leq 1$ だから有界であり，定義 15.1.2 の条件が成分についての等式と不等式で書けているから閉である．

$𝑊 (\cdot, 𝑝)$ の連続性に移る． $𝑥 \in X$ を固定すると， $𝑏 \mapsto \sum 𝑚 𝑗 = 1 𝑏 (𝑗) 𝑥 (𝑗)$ は成分の一次結合だから連続で，その値は補題 15.1.5 より正である． $l o g$ は $(0, \infty)$ の上で連続である． $𝑡 > 0$ では $l o g 𝑡 = - 𝜑 (𝑡) / 𝑡$ と書けるから（ $𝜑 (𝑡) = - 𝑡 l o g 𝑡$ は 1.1 節の記号である），補題 1.1.8 の $𝜑$ の $[0, \infty)$ 上の連続性と商の法則からそれが出る．合成が連続性を保つことから $𝑏 \mapsto l o g \sum 𝑗 𝑏 (𝑗) 𝑥 (𝑗)$ は連続で，非負の重み $𝑝 (𝑥)$ を掛けた有限和も連続だから， $𝑊 (\cdot, 𝑝)$ はポートフォリオ全体の上で連続である．

空でない有界閉集合の上の連続関数だから，借りた Weierstrass の最大値定理より $𝑊 (\cdot, 𝑝)$ はそこで最大値をとる．それを与えるポートフォリオを $𝑏 \circ$ とすればよい． $◼$

形式化上の注記. 命題 15.2.2 に対応する単独の宣言はない．単体の上で最大値をとることを結論にもつ宣言を結論の形で探すと三つ見つかるが，どれも目的関数か対象が違う．標本点ごとの最大を可測に選べることを述べた exists_measurable_argmax_on_stdSimplex (InformationTheory/Shannon/Portfolio/StationaryWinfty.lean) は，可測な選び方についての主張である．毎期同じ比率に配分し直すポートフォリオの中で後知恵で選んだ最良のものについて，その資産が達成されることを述べた bestConstantWealth_attained (InformationTheory/Shannon/Portfolio/Universal.lean) は，倍加率ではなく資産についての主張である．結論の字面がいちばん近いのは，第6章定理 6.1.5 が紐付けている exists_capacity_achiever (InformationTheory/Shannon/ChannelCoding/ShannonTheorem.lean) で，単体の上で最大を与える点が存在することをそのままの形で述べているが，最大にしているのは倍加率ではなく相互情報量である．次の定理 15.2.4 と定理 15.2.5 の紐付け先も，最大を与えるポートフォリオが与えられたときの特徴づけであって，存在そのものは述べていない．

定義 15.2.3（対数最適ポートフォリオ）. $𝑚 \geq 1$ とし， $X$ を株価比（定義 15.1.1）からなる空でない有限集合， $𝑝$ を $X$ 上の分布とする．どのポートフォリオ（定義 15.1.2） $𝑏$ についても $𝑊 (𝑏, 𝑝) \leq 𝑊 (𝑏 *, 𝑝)$ を満たすポートフォリオ $𝑏 *$ を，この市場の 対数最適ポートフォリオ と呼ぶ（ $𝑊$ は定義 15.1.4 の倍加率である）．命題 15.2.2 よりそのような $𝑏 *$ は存在する．本書はその一意性を述べないので，以下 $𝑏 *$ と書くときは，そのようなものを一つ選んだものとする．

一意にならない市場は実際にある．どの株価比のもとでも同じ倍率を返す銘柄が二つあれば，その二つへの配分をどう分け直しても資産倍率が変わらず，したがって倍加率も変わらないからである．

Kuhn–Tucker 条件

$X$ を株価比（定義 15.1.1）からなる空でない有限集合， $𝑝$ を $X$ 上の分布， $𝑏 \circ$ をポートフォリオ（定義 15.1.2）とする． $𝑗 \in {1, \dots, 𝑚}$ ごとの

\sum 𝑥 \in X 𝑝 (𝑥) 𝑥 (𝑗) \sum 𝑚 𝑘 = 1 𝑏 \circ (𝑘) 𝑥 (𝑘) \leq 1

という $𝑚$ 本の不等式を Kuhn–Tucker 条件 と呼ぶ．銘柄 $𝑗$ についての行の左辺は，銘柄 $𝑗$ に全額を寄せたときの資産倍率 $𝑥 (𝑗)$ を $𝑏 \circ$ の資産倍率で割った比の，分布 $𝑝$ による平均である．すなわちこの行は， $𝑏 \circ$ から銘柄 $𝑗$ に丸ごと乗り換えたときの $1$ 期の資産の比が，平均として $1$ を超えない，と言っている．

定理 15.2.4（Kuhn–Tucker 条件の十分性）. $𝑚 \geq 1$ とし， $X$ を株価比（定義 15.1.1）からなる空でない有限集合， $𝑝$ を $X$ 上の分布， $𝑏 \circ$ をポートフォリオ（定義 15.1.2）とする．すべての $𝑗 \in {1, \dots, 𝑚}$ について

\sum 𝑥 \in X 𝑝 (𝑥) 𝑥 (𝑗) \sum 𝑚 𝑘 = 1 𝑏 \circ (𝑘) 𝑥 (𝑘) \leq 1

が成り立つならば，どのポートフォリオ $𝑏$ についても $𝑊 (𝑏, 𝑝) \leq 𝑊 (𝑏 \circ, 𝑝)$ である（ $𝑊$ は定義 15.1.4 の倍加率である）．すなわち $𝑏 \circ$ は定義 15.2.3 の対数最適ポートフォリオである．

証明. $𝑥 \in X$ について $𝑠 (𝑥) : = \sum 𝑚 𝑘 = 1 𝑏 \circ (𝑘) 𝑥 (𝑘)$ ， $𝑟 (𝑥) : = \sum 𝑚 𝑗 = 1 𝑏 (𝑗) 𝑥 (𝑗)$ とおく．補題 15.1.5 よりどちらも正である．定義 15.1.4 より

𝑊 (𝑏, 𝑝) - 𝑊 (𝑏 \circ, 𝑝) = \sum 𝑥 \in X 𝑝 (𝑥) (l o g 𝑟 (𝑥) - l o g 𝑠 (𝑥)) = \sum 𝑥 \in X 𝑝 (𝑥) l o g 𝑟 (𝑥) 𝑠 (𝑥)

である．

補題 1.1.9 を，凹関数として $l o g$ （補題 1.1.6 による），重みとして $𝑝 (𝑥)$ ，点として $𝑡 𝑥 : = 𝑟 (𝑥) / 𝑠 (𝑥)$ ととって当てる．どの $𝑡 𝑥$ も正だから $l o g$ の定義域に入っており，重みは非負で総和が $1$ だから

\sum 𝑥 \in X 𝑝 (𝑥) l o g 𝑟 (𝑥) 𝑠 (𝑥) \leq l o g (\sum 𝑥 \in X 𝑝 (𝑥) 𝑟 (𝑥) 𝑠 (𝑥))

を得る．

内側の和を並べ替える． $𝑟 (𝑥) = \sum 𝑗 𝑏 (𝑗) 𝑥 (𝑗)$ を代入して和の順序を入れ替えると

\sum 𝑥 \in X 𝑝 (𝑥) 𝑟 (𝑥) 𝑠 (𝑥) = 𝑚 \sum 𝑗 = 1 𝑏 (𝑗) \sum 𝑥 \in X 𝑝 (𝑥) 𝑥 (𝑗) 𝑠 (𝑥) \leq 𝑚 \sum 𝑗 = 1 𝑏 (𝑗) = 1

である（不等号は $𝑏 (𝑗) \geq 0$ と仮定の $𝑚$ 本の不等式による）．いっぽう $𝑝$ は分布だから正の値をとる $𝑥$ があり，どの項も非負だから，この和は正である．したがってこの和は $0$ より大きく $1$ 以下であり，対数の単調性（補題 8.2.5）よりその対数は $l o g 1 = 0$ 以下である．上の二つを合わせて $𝑊 (𝑏, 𝑝) - 𝑊 (𝑏 \circ, 𝑝) \leq 0$ を得る． $◼$

形式化: logOptimal_of_kuhnTucker (ソース)

行が $𝑚$ 本あることを読む. 行が $𝑚$ 本あるのは乗り換え先が $𝑚$ 通りあるからで，どの一つに丸ごと乗り換えても得をしないなら，どんな混ぜ方に乗り換えても得をしない，というのが定理 15.2.4 の中身である．左辺が真に $1$ を下回る行もありうる．例 15.2.7 がその実物である．

逆向きも成り立つ．次の証明では，実数 $𝑢$ について $𝜆 ↓ 0$ のとき $l o g (1 + 𝜆 𝑢) / 𝜆 \to 𝑢 l o g 𝑒$ となるという微積分の初等規則を既知とする．あわせて，有限個の項の和の極限が各項の極限の和であることと，極限が広義の不等号を保つことも既知とする．

定理 15.2.5（Kuhn–Tucker 条件の必要性）. $𝑚 \geq 1$ とし， $X$ を株価比（定義 15.1.1）からなる空でない有限集合， $𝑝$ を $X$ 上の分布とする．ポートフォリオ（定義 15.1.2） $𝑏 \circ$ が，どのポートフォリオ $𝑏$ についても $𝑊 (𝑏, 𝑝) \leq 𝑊 (𝑏 \circ, 𝑝)$ を満たすならば，すべての $𝑗 \in {1, \dots, 𝑚}$ について

\sum 𝑥 \in X 𝑝 (𝑥) 𝑥 (𝑗) \sum 𝑚 𝑘 = 1 𝑏 \circ (𝑘) 𝑥 (𝑘) \leq 1

である（ $𝑊$ は定義 15.1.4 の倍加率である）．

証明. $𝑗$ を一つ固定する．銘柄 $𝑗$ に全額を寄せたポートフォリオ，すなわち番号 $𝑗$ に $1$ を返しほかの番号に $0$ を返す関数は，成分が非負で総和が $1$ だからポートフォリオである． $0 < 𝜆 \leq 1$ に対して， $𝑏 \circ$ とこれとを重み $1 - 𝜆$ と $𝜆$ で混ぜたものを $𝑏 𝜆$ と書く．すなわち $𝑏 𝜆 (𝑗) = (1 - 𝜆) 𝑏 \circ (𝑗) + 𝜆$ であり， $𝑘 \neq 𝑗$ では $𝑏 𝜆 (𝑘) = (1 - 𝜆) 𝑏 \circ (𝑘)$ である．定理 15.2.1 より $𝑏 𝜆$ もポートフォリオである．

$𝑥 \in X$ を固定し， $𝑠 (𝑥) : = \sum 𝑚 𝑘 = 1 𝑏 \circ (𝑘) 𝑥 (𝑘)$ とおく．補題 15.1.5 より $𝑠 (𝑥) > 0$ である． $𝑏 𝜆$ の資産倍率は

𝑚 \sum 𝑘 = 1 𝑏 𝜆 (𝑘) 𝑥 (𝑘) = (1 - 𝜆) 𝑠 (𝑥) + 𝜆 𝑥 (𝑗) = 𝑠 (𝑥) (1 + 𝜆 𝑢 𝑥), 𝑢 𝑥 : = 𝑥 (𝑗) 𝑠 (𝑥) - 1

である．左辺はポートフォリオの資産倍率だから正であり， $𝑠 (𝑥) > 0$ とあわせて $1 + 𝜆 𝑢 𝑥 > 0$ である．したがって定義 15.1.4 より

𝑊 (𝑏 𝜆, 𝑝) - 𝑊 (𝑏 \circ, 𝑝) = \sum 𝑥 \in X 𝑝 (𝑥) l o g (1 + 𝜆 𝑢 𝑥)

となる．

$𝑏 \circ$ の最適性からこの値は $0$ 以下である．両辺を $𝜆 > 0$ で割って

\sum 𝑥 \in X 𝑝 (𝑥) l o g (1 + 𝜆 𝑢 𝑥) 𝜆 \leq 0

を得る． $X$ は有限だから， $𝜆 ↓ 0$ として借りた初等規則を各項に当てると，左辺は $l o g 𝑒 \sum 𝑥 \in X 𝑝 (𝑥) 𝑢 𝑥$ に収束する．極限は広義の不等号を保つので $l o g 𝑒 \sum 𝑥 𝑝 (𝑥) 𝑢 𝑥 \leq 0$ であり，底は $1$ より大きいから $l o g 𝑒 > 0$ で， $\sum 𝑥 𝑝 (𝑥) 𝑢 𝑥 \leq 0$ である． $𝑢 𝑥$ の定義と $\sum 𝑥 𝑝 (𝑥) = 1$ を使えば，これは主張の不等式にほかならない． $◼$

形式化: kuhnTucker_of_logOptimal (ソース)

形式化上の注記. 宣言が求める正値性は， $𝑏 \circ$ における資産倍率が正であることだけで，本文が定義 15.1.1 で株価比そのものに課した正値性より弱い．本文の主張はその特別な場合である．

定理 15.2.4 と定理 15.2.5 を合わせると，ポートフォリオが定義 15.2.3 の対数最適ポートフォリオであることと Kuhn–Tucker 条件を満たすこととは同じである．第5章で比例賭けという一つの式が担っていた役を，市場では $𝑚$ 本の不等式が担う．これは最適なポートフォリオを教える式ではなく，与えられたポートフォリオが最適かどうかを確かめる手続きである．次の二つの例では，その手続きが計算だけで済むことを見る．

では，確かめる相手はどこから来るのか．例 15.1.6 の市場は銘柄が二つなので，ポートフォリオは銘柄 $2$ への配分 $𝛽$ ひとつで決まる．この $𝛽$ は，第11章 11.4 節の第二種の誤り確率とも，第3章例 3.1.5 の二状態のマルコフ情報源の遷移確率とも別である．後者は例 15.6.4 が本章に引き継ぐので，本章には二つの意味の $𝛽$ が並ぶ．資産倍率は上向きで $1 + 𝛽$ ，下向きで $1 - 𝛽 / 2$ である．倍加率は $12 l o g (1 + 𝛽) + 12 l o g (1 - 𝛽 / 2) = 12 l o g ((1 + 𝛽) (1 - 𝛽 / 2))$ だから，補題 8.2.5 の単調性より，中身の

(1 + 𝛽) (1 - 𝛽 2) = - 12 (𝛽 - 12) 2 + 98

を $0 \leq 𝛽 \leq 1$ の範囲で最大にする $𝛽$ を探せばよく，それは $𝛽 = 1 / 2$ である．次の例では，こうして見当をつけた $1 / 2$ が Kuhn–Tucker 条件を満たすことを確かめる．

例 15.2.6（現金と一つの株の対数最適ポートフォリオ）. 例 15.1.6 の市場で $𝑏 * (1) = 𝑏 * (2) = 1 / 2$ とおくと， $𝑏 *$ は定義 15.2.3 の対数最適ポートフォリオであり， $𝑗 = 1$ についても $𝑗 = 2$ についても

\sum 𝑥 \in X 𝑝 (𝑥) 𝑥 (𝑗) \sum 2 𝑘 = 1 𝑏 * (𝑘) 𝑥 (𝑘) = 1

である．

証明. 例 15.1.6 の計算より， $𝑏 *$ の資産倍率は $𝑥 ↑$ で $3 / 2$ ， $𝑥 ↓$ で $3 / 4$ である． $𝑗 = 1$ では $𝑥 ↑ (1) = 𝑥 ↓ (1) = 1$ だから，左辺は $12 \cdot 1 3 / 2 + 12 \cdot 1 3 / 4 = 13 + 23 = 1$ である． $𝑗 = 2$ では $𝑥 ↑ (2) = 2$ ， $𝑥 ↓ (2) = 1 / 2$ だから，左辺は $12 \cdot 2 3 / 2 + 12 \cdot 1 / 2 3 / 4 = 23 + 13 = 1$ である．どちらも $1$ 以下だから，定理 15.2.4 より $𝑏 *$ は対数最適ポートフォリオである． $◼$

例 15.2.7（買わない銘柄）. 例 15.1.6 の市場に，株価比がつねに $0.9$ である銘柄 $3$ を足す．すなわち $𝑚 = 3$ とし， $𝑥 ↑ (1) = 1$ ， $𝑥 ↑ (2) = 2$ ， $𝑥 ↑ (3) = 0.9$ ， $𝑥 ↓ (1) = 1$ ， $𝑥 ↓ (2) = 1 / 2$ ， $𝑥 ↓ (3) = 0.9$ とおいて， $X = {𝑥 ↑, 𝑥 ↓}$ ， $𝑝 (𝑥 ↑) = 𝑝 (𝑥 ↓) = 1 / 2$ とする．このとき $𝑏 * (1) = 𝑏 * (2) = 1 / 2$ ， $𝑏 * (3) = 0$ は定義 15.2.3 の対数最適ポートフォリオであり，

\sum 𝑥 \in X 𝑝 (𝑥) 𝑥 (𝑗) \sum 3 𝑘 = 1 𝑏 * (𝑘) 𝑥 (𝑘)

の値は $𝑗 = 1$ と $𝑗 = 2$ については $1$ ， $𝑗 = 3$ については $0.9$ である．

証明. $𝑏 * (3) = 0$ だから資産倍率は例 15.1.6 と同じで， $𝑥 ↑$ で $3 / 2$ ， $𝑥 ↓$ で $3 / 4$ である．したがって $𝑗 = 1$ と $𝑗 = 2$ の値は例 15.2.6 の計算がそのまま使えて，どちらも $1$ である． $𝑗 = 3$ では $𝑥 ↑ (3) = 𝑥 ↓ (3) = 0.9$ だから，値は $12 \cdot 0.9 3 / 2 + 12 \cdot 0.9 3 / 4 = 0.9 (13 + 23) = 0.9$ である．三つとも $1$ 以下だから，定理 15.2.4 より $𝑏 *$ は対数最適ポートフォリオである． $◼$

銘柄 $3$ は，どの期にも資産をきっかり $0.9$ 倍にする．例 15.2.7 の対数最適ポートフォリオはこれを買わない．例 15.2.6 では買っている二つの銘柄の行がどちらも等号になり，例 15.2.7 では，買っている二つの銘柄の行が等号で，買っていない銘柄の行だけが $1$ を下回っている．どちらの例でも Kuhn–Tucker 条件を確かめるのに要ったのは，資産倍率を二つの株価比について計算して割り算をすることだけである．最大化の問題を解かずに最適だと言い切れる，これが定理 15.2.4 の使い道である．ただしこの二つでは，確かめる相手を用意するほうも放物線の頂点を探すだけで済んでいた．頂点を探す手が当たらない市場では，確かめる手続きのほうだけが残る．節の終わりの例 15.2.9 がそれである．

買っている銘柄の行に等号が立ったのは，どちらの例でも偶然ではない．

系 15.2.8（持っている銘柄での等号）. $𝑚 \geq 1$ とし， $X$ を株価比（定義 15.1.1）からなる空でない有限集合， $𝑝$ を $X$ 上の分布， $𝑏 \circ$ をポートフォリオ（定義 15.1.2）とする．すべての $𝑗 \in {1, \dots, 𝑚}$ について

\sum 𝑥 \in X 𝑝 (𝑥) 𝑥 (𝑗) \sum 𝑚 𝑘 = 1 𝑏 \circ (𝑘) 𝑥 (𝑘) \leq 1

が成り立つならば， $𝑏 \circ (𝑗) > 0$ を満たすどの $𝑗 \in {1, \dots, 𝑚}$ についても，この不等式は等号で成り立つ．

証明. $𝑥 \in X$ について $𝑠 (𝑥) : = \sum 𝑚 𝑘 = 1 𝑏 \circ (𝑘) 𝑥 (𝑘)$ とおく．補題 15.1.5 より $𝑠 (𝑥) > 0$ である．銘柄 $𝑗$ の行の左辺を $𝑐 𝑗$ と書く． $𝑐 𝑗$ に $𝑏 \circ (𝑗)$ を掛けて $𝑗$ について足し，和の順序を入れ替えると

𝑚 \sum 𝑗 = 1 𝑏 \circ (𝑗) 𝑐 𝑗 = \sum 𝑥 \in X 𝑝 (𝑥) \sum 𝑚 𝑗 = 1 𝑏 \circ (𝑗) 𝑥 (𝑗) 𝑠 (𝑥) = \sum 𝑥 \in X 𝑝 (𝑥) = 1

である（第 $2$ の等号は $\sum 𝑚 𝑗 = 1 𝑏 \circ (𝑗) 𝑥 (𝑗) = 𝑠 (𝑥)$ による）．定義 15.1.2 より $\sum 𝑚 𝑗 = 1 𝑏 \circ (𝑗) = 1$ だから，これは

𝑚 \sum 𝑗 = 1 𝑏 \circ (𝑗) (1 - 𝑐 𝑗) = 0

と書き直せる．仮定より $1 - 𝑐 𝑗 \geq 0$ であり， $𝑏 \circ (𝑗) \geq 0$ だから各項は非負である．非負の有限個の項の和が $0$ になるのは，どの項も $0$ のときに限る．よって $𝑏 \circ (𝑗) > 0$ なら $1 - 𝑐 𝑗 = 0$ である． $◼$

形式化上の注記. 系 15.2.8 に対応する単独の宣言はない．Kuhn–Tucker 条件の左辺が等号で $1$ に等しいことを結論にもつ宣言を結論の形で探して見つからなかった．機械検証が及ぶのは定理 15.2.4 と定理 15.2.5 の不等号の向きまでである．

これで Kuhn–Tucker 条件は， $𝑚$ 本のばらばらな検査ではなく一枚の絵になる．行の左辺を，その銘柄に丸ごと乗り換えたときの $1$ 期の資産の比の平均と読めば，持っている銘柄の値はどれもちょうど $1$ ，すなわち互いに等しく，持っていない銘柄の値はそれ以下だということである．最適なポートフォリオは，配分している銘柄のあいだで乗り換えの得失を釣り合わせている．

見当のつけ方のほうに戻る．例 15.2.6 で頂点が探せたのは，二つの株価比の確率が等しく，倍加率が $12 l o g ((1 + 𝛽) (1 - 𝛽 / 2))$ と，対数の中の放物線一つに畳めたからである．確率が偏るとこの畳み方はできない．上向きの確率を $9 / 10$ にすると倍加率は $110 l o g ((1 + 𝛽) 9 (1 - 𝛽 / 2))$ となり，対数の中は $10$ 次の多項式で，頂点という言い方が当たらない．代わりに，上向きが $10$ 回に $9$ 回なのだから全額を株に寄せてみよう，と見当をつけて，Kuhn–Tucker 条件で確かめる．

例 15.2.9（端に寄る対数最適ポートフォリオ）. 例 15.1.6 の二つの株価比 $𝑥 ↑$ ， $𝑥 ↓$ をとり，分布だけを取り替える．すなわち $𝑚 = 2$ ， $X = {𝑥 ↑, 𝑥 ↓}$ ， $𝑥 ↑ (1) = 𝑥 ↓ (1) = 1$ ， $𝑥 ↑ (2) = 2$ ， $𝑥 ↓ (2) = 1 / 2$ とし， $𝑝 (𝑥 ↑) = 9 / 10$ ， $𝑝 (𝑥 ↓) = 1 / 10$ とする．このとき全額を銘柄 $2$ に寄せたポートフォリオ $𝑏 *$ ，すなわち $𝑏 * (1) = 0$ ， $𝑏 * (2) = 1$ は定義 15.2.3 の対数最適ポートフォリオであり，

\sum 𝑥 \in X 𝑝 (𝑥) 𝑥 (𝑗) \sum 2 𝑘 = 1 𝑏 * (𝑘) 𝑥 (𝑘)

の値は $𝑗 = 1$ について $13 / 20$ ， $𝑗 = 2$ について $1$ である．その倍加率（定義 15.1.4）は $𝑊 (𝑏 *, 𝑝) = 4 / 5$ である．

証明. $𝑏 *$ の資産倍率は， $𝑥 ↑$ で $𝑥 ↑ (2) = 2$ ， $𝑥 ↓$ で $𝑥 ↓ (2) = 1 / 2$ である． $𝑗 = 1$ では $𝑥 ↑ (1) = 𝑥 ↓ (1) = 1$ だから，値は $910 \cdot 12 + 110 \cdot 1 1 / 2 = 920 + 15 = 1320$ である． $𝑗 = 2$ では $910 \cdot 22 + 110 \cdot 1 / 2 1 / 2 = 910 + 110 = 1$ である．どちらも $1$ 以下だから，定理 15.2.4 より $𝑏 *$ は対数最適ポートフォリオである．倍加率は定義 15.1.4 より $910 l o g 2 + 110 l o g 12 = 910 - 110 = 45$ である． $◼$

例 15.2.9 の対数最適ポートフォリオは現金をまったく持たない．銘柄 $2$ への配分を $0$ から $1$ まで動かしたときの最大が，動かせる範囲の端で起きているということである．例 15.2.6 の $𝛽 = 1 / 2$ は範囲の内側にあって，そこでは二つの行がどちらも等号だった．ここで買っている銘柄は一つだけなので，系 15.2.8 が等号を要求するのもその一行だけで，現金の行は $13 / 20$ にとどまる．現金に丸ごと乗り換えたときの $1$ 期の資産の比は平均して $13 / 20$ である，というのがこの一行の意味である．

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