15.1 市場とポートフォリオ

第5章は，次に何が出るかに賭ける人の資産を追った．場面は競馬で，勝った馬だけが払い戻すから， $1$ レースで資産が何倍になるかは，その馬に賭けた比率とその馬のオッズとの積という一つの値だった（定義 5.1.2）．本章は同じ問いを株式の市場に移す．市場ではどの銘柄も同時に値をつけるので，資産を $𝑚$ 個の銘柄に割っておくと， $1$ 期のあいだに各銘柄の持ち分がそれぞれ何倍かになり，手元の資産全体は，割った比率で重みをつけた和の倍になる．一つの積が和に変わる，というこの一点が本章と第5章のすべての違いを生む．

資産を毎期すべて配分し直すこと，資産の対数を期数で割って $1$ 期あたりの増え方に直すこと，そしてその期待値を良さの尺度にとることは，第5章 5.1 節の設定をそのまま引き継ぐ．引き継がないのはオッズだけで，その役は次に定める株価比が引き受ける．

定義 15.1.1（株価比と市場）. $𝑚 \geq 1$ を銘柄の数とする． $1$ から $𝑚$ までの各番号に正の実数を返す関数 $𝑥$ を 株価比 と呼び，その値 $𝑥 (𝑗)$ を， $1$ 期のあいだに銘柄 $𝑗$ が資産を何倍にするかとする．株価比からなる空でない有限集合 $X$ と， $X$ に値をとる確率変数 $𝑋$ の組を市場と呼び， $𝑋$ の分布を $𝑝$ と書く．

$X$ の中身は第5章から入れ替わっている．あちらの $X$ は馬の集合，すなわち起こりうる結果を並べたものだったが，こちらの $X$ の元は $1$ 期の市場全体の出方であり， $𝑚$ 個の銘柄すべてに何倍かを割り当てる関数である．馬にあたるのは $X$ の元ではなく銘柄の番号 $𝑗$ のほうで，これから $𝑥 (𝑗)$ という書き方が繰り返し出るのはそのためである．

形式化上の注記. 形式化は，起こりうる出来事の集合と，そこから株価比への写像とを分けて持つ．本文が株価比そのものを出来事とすることにしたのは，その写像を恒等写像にとった特別な場合である．市場そのものを束ねた宣言はない．

本章の $𝑚$ はつねに銘柄の数である．第6章定義 6.2.1 以来，第8章と第14章もメッセージの番号を $𝑚$ と書いてきたが，本章にメッセージは出てこない．

定義 15.1.2（ポートフォリオと資産倍率）. $𝑚 \geq 1$ とする． $1$ から $𝑚$ までの各番号に非負の実数を返す関数 $𝑏$ で $\sum 𝑚 𝑗 = 1 𝑏 (𝑗) = 1$ を満たすものを ポートフォリオ と呼ぶ．株価比 $𝑥$ （定義 15.1.1）に対する $𝑏$ の 資産倍率 を

𝑚 \sum 𝑗 = 1 𝑏 (𝑗) 𝑥 (𝑗)

で定める．

形式化: wealthRelative (ソース)

違いの源はこの一点で，ここから二つのことが変わる．計算の形と，正値性の置き場所である．

一つめは計算の形である．競馬では勝った馬だけが払い戻すので， $1$ レースの倍率は，その馬に賭けた比率とオッズとの積という一つの値だった．市場ではすべての銘柄が同時に値をつけるので，資産倍率は $𝑚$ 個の項の和になる．第5章定理 5.2.1 の証明は，二つの倍加率の差をとると， $1$ レースの倍率の対数からオッズの項が引き算で消えて相対エントロピーが残る，という計算だった．和の対数は項ごとには分かれないから，市場ではこの計算がそのままの形では動かない．何が代わりに残るかは 15.2 節で見る．

二つめは正値性の置き場所である．第5章定義 5.1.1 は賭け金の配分がすべての点で正であることを課していた． $0$ を賭けた馬が勝つと資産が $0$ になり，その対数が定まらなくなるからである．本章のポートフォリオ（定義 15.1.2）は成分が $0$ でよい．どの銘柄も同時に値をつけるので，買わなかった銘柄があっても，買った銘柄の項が資産倍率を正に保つからである．代わりに，株価比のほう（定義 15.1.1）にすべての点で正であることを課してある．こちらが $0$ を許すと，その銘柄に全額を寄せたポートフォリオの資産倍率が $0$ になってしまう．

形式化上の注記. 形式化は，株価比が正であることを課す代わりに，資産倍率が正であることを，それが要る定理の仮定として置く．二つは同じことである．どのポートフォリオについても資産倍率が正であることと，どの株価比のどの成分も正であることとは，銘柄 $𝑗$ に全額を寄せたポートフォリオを代入すれば互いに移り合うからである．

定義 15.1.3（資産）. $𝑚 \geq 1$ とし， $X$ を株価比（定義 15.1.1）からなる空でない有限集合， $𝑏$ をポートフォリオ（定義 15.1.2）とする． $X$ に値をとる株価比の列 $𝑋 1, 𝑋 2, \dots$ に対し，初期資産を $1$ として，毎期すべての資産を同じ $𝑏$ で配分し直すとき， $𝑛$ 期後の資産を

𝑆 𝑛 (𝑏) : = 𝑛 \prod 𝑖 = 1 𝑚 \sum 𝑗 = 1 𝑏 (𝑗) 𝑋 𝑖 (𝑗)

で定める（ $𝑛 = 0$ のときは空の積で $𝑆 0 (𝑏) = 1$ である）．記号 $𝑆 𝑛 (𝑏)$ は株価比の列にも依るが，固定されているものとして書かない．

形式化上の注記. 株価比が確率変数の列として与えられるときの資産には，積そのものにあたる宣言がない．形式化が持つのはその対数 seqLogWealth (InformationTheory/Shannon/Portfolio/OperationalSequences.lean) のほうで，積をとってから対数をとる本文とは違い， $1$ 期ごとの資産倍率の対数の和として直に定めてある．どの因子も正だから両者は同じ量を指している．決まった株価比の列についての積そのものは constWealth (InformationTheory/Shannon/Portfolio/Universal.lean) で，15.8 節の定義 15.8.1 が紐付けているのがそれである．

毎期同じポートフォリオで配分し直すというのも約束である．15.7 節は，それまでに出た株価比を見てそのつど組み替える戦略を扱い，そこでこの約束を外す．

$𝑆 𝑛 (𝑏)$ は $1$ 期ごとの資産倍率を $𝑛$ 個掛け合わせたものである．積のままでは大きさを比べにくいので，第5章 5.1 節と同じく，対数をとって $𝑛$ で割り， $1$ 期あたりの増え方に直す．ここで資産倍率が正であることを見ておく．定義 15.1.1 より株価比の成分はどれも正で，定義 15.1.2 よりポートフォリオの成分は非負で総和が $1$ だから，資産倍率は正である．だから次の定義の対数はつねに定まる．以下，本章では $l o g$ の底を $2$ にとる．資産が $1$ 期あたり $2$ の何乗の速さで増えるかを測る量を次に置くので，指数の底と対数の底をそろえておく必要があるからである．

定義 15.1.4（倍加率）. $𝑚 \geq 1$ とし， $X$ を株価比（定義 15.1.1）からなる空でない有限集合， $𝑝$ を $X$ 上の分布， $𝑏$ をポートフォリオ（定義 15.1.2）とする． $𝑏$ の 倍加率 を

𝑊 (𝑏, 𝑝) : = \sum 𝑥 \in X 𝑝 (𝑥) l o g (𝑚 \sum 𝑗 = 1 𝑏 (𝑗) 𝑥 (𝑗))

で定める．

形式化: growthRate (ソース)

形式化上の注記（本章共通）. 形式化は倍加率を自然対数で定めているので，そちらの値の単位はナットである．本章は底を $2$ にとっているから値は正の定数倍だけ違うが，以降の不等式・等式はどれも両辺が同じ倍率で変わるので，底を取り替えてもそのままの形で対応する（第5章 5.1 節と同じ断りである）．

倍加率は第5章定義 5.1.3 と同じ量で，引数からオッズが消えた形である．あちらが平均していたのは $1$ レースの倍率，すなわち勝ち馬に賭けた比率とそのオッズとの積の対数で，こちらが平均するのは資産倍率 $\sum 𝑚 𝑗 = 1 𝑏 (𝑗) 𝑥 (𝑗)$ の対数である．名前も第5章のまま使う． $𝑊 (𝑏, 𝑝) = 1$ とは資産の対数が $1$ 期あたり平均して $1$ だけ増えるということで，底を $2$ にとったのだから，これは資産が $1$ 期につき $2$ 倍の速さで増えることを意味する．

第5章の競馬は，本章の市場の形で読み直すことができる．第5章のアルファベットの各元，すなわち各馬を一つの銘柄とみなす．そして，ある馬が勝つという結果に，その馬の銘柄には第5章のオッズの値を，ほかの銘柄には $0$ を返す関数を対応させる．すると資産倍率（定義 15.1.2）は，勝った馬に賭けた比率とその馬のオッズとの積という一つの項だけになり，定義 15.1.4 は定義 5.1.3 と同じ式になる．ただしこうして得られる関数には値 $0$ が現れるので，これは定義 15.1.1 の株価比ではない．正値性の置き場所が入れ替わっているのは，この $0$ を避けるためである．

形式化上の注記. この読み直しを述べる単独の宣言はない．定義 15.1.4 の倍加率にあたる growthRate と定義 5.1.3 の倍加率にあたる doublingRate (InformationTheory/Shannon/Gambling/Basic.lean) の両方を結論に含む宣言を，結論の形で探して見つからなかった．

このあとの節の証明は，資産倍率が正であることを繰り返し使う．番号で引けるように，主張として書き留めておく．

補題 15.1.5（資産倍率の正値性）. $𝑚 \geq 1$ とし， $𝑥$ を株価比（定義 15.1.1）， $𝑏$ をポートフォリオ（定義 15.1.2）とする．このとき $𝑥$ に対する $𝑏$ の資産倍率について

𝑚 \sum 𝑗 = 1 𝑏 (𝑗) 𝑥 (𝑗) > 0

である．

証明. 定義 15.1.1 より各 $𝑥 (𝑗)$ は正だから， $𝑥$ の成分の最小値も正である．定義 15.1.2 より $𝑏 (𝑗) \geq 0$ かつ $\sum 𝑚 𝑗 = 1 𝑏 (𝑗) = 1$ だから，どの $𝑗$ でも $𝑏 (𝑗) 𝑥 (𝑗)$ はその最小値の $𝑏 (𝑗)$ 倍以上であり， $𝑗$ について足すと $\sum 𝑚 𝑗 = 1 𝑏 (𝑗) 𝑥 (𝑗)$ は最小値以上になる．とくに正である． $◻$

形式化: wealthFactor_pos (ソース)

形式化上の注記. 宣言は一つの株価比ではなく株価比の列について書かれており，正値性もその列のすべての期について課したうえで，指定した期の資産倍率が正であることを述べる．本文の補題 15.1.5 は，その列として同じ株価比を並べた定数列をとった場合にあたる．

例 15.1.6（現金と一つの株）. $𝑚 = 2$ とする．銘柄 $1$ は株価比がつねに $1$ で（現金），銘柄 $2$ は $2$ 倍と $1 / 2$ 倍が確率 $1 / 2$ ずつであるとする．すなわち，上向きの株価比を $𝑥 ↑$ ，下向きのそれを $𝑥 ↓$ と書いて， $𝑥 ↑ (1) = 1$ ， $𝑥 ↑ (2) = 2$ ， $𝑥 ↓ (1) = 1$ ， $𝑥 ↓ (2) = 1 / 2$ とおき， $X = {𝑥 ↑, 𝑥 ↓}$ ， $𝑝 (𝑥 ↑) = 𝑝 (𝑥 ↓) = 1 / 2$ とする．全額を現金にとったポートフォリオ（ $𝑏 (1) = 1$ ， $𝑏 (2) = 0$ ）と，全額を株にとったポートフォリオ（ $𝑏 (1) = 0$ ， $𝑏 (2) = 1$ ）の倍加率（定義 15.1.4）はどちらも $0$ であり，半々にとったポートフォリオ（ $𝑏 (1) = 𝑏 (2) = 1 / 2$ ）の倍加率は $12 l o g 98 = 0.0849 \dots$ である．

証明. 全額を現金にとると，資産倍率はどちらの株価比でも $1$ だから，定義 15.1.4 の各項が $l o g 1 = 0$ で和も $0$ である．全額を株にとると，資産倍率は $𝑥 ↑$ で $2$ ， $𝑥 ↓$ で $1 / 2$ だから，倍加率は $12 l o g 2 + 12 l o g 12 = 12 - 12 = 0$ である．半々にとると，資産倍率は $𝑥 ↑$ で $12 \cdot 1 + 12 \cdot 2 = 32$ ， $𝑥 ↓$ で $12 \cdot 1 + 12 \cdot 12 = 34$ だから，倍加率は $12 l o g 32 + 12 l o g 34 = 12 l o g 98$ である． $l o g 98 = 0.1699 \dots$ だから，値は $0.0849 \dots$ になる． $◼$

例 15.1.6 の三つのポートフォリオは，同じ市場に同じ額を置いていながら倍加率が違う．現金だけでも株だけでも $0$ なのに，半分ずつにすると正になる．株だけを持つと， $2$ 倍の対数と $1 / 2$ 倍の対数が打ち消し合って倍加率が $0$ になる．半分を現金にしておくと，下振れの側が $3 / 4$ 倍までしか下がらない一方，上振れの側は $3 / 2$ 倍まで残るので，対数の平均が正の側に傾く．この形を作っているのは，毎期同じ比率に配分し直すという定義 15.1.3 の約束である．上がった期には値上がりした株を売って現金に戻し，下がった期には現金で株を買い足すことになるので，高いところで減らし安いところで増やす売り買いが，比率を戻すだけで自動的に起きる．この値が実際の資産の増え方とどう結びつくかは，15.5 節で扱う．

全額を配分するという約束についても，例 15.1.6 の市場でならその意味が見える．この市場は現金を銘柄の一つとして含み，そこに全額を寄せたポートフォリオはどの株価比でも資産倍率が $1$ だから，手元に現金を置くことがポートフォリオの中で再現でき，毎期すべてを配分するという定義 15.1.2 の約束はこの市場では何も禁じていない（第5章 5.1 節が，逆数の総和が $1$ であるオッズのもとで全額を賭けさせることについて言ったのと同じことである）．どの株価比でも資産倍率が $1$ になるポートフォリオが一つもない市場では，現金を持つことをポートフォリオの中で再現できない．

では，半々より良い割り方はあるだろうか．あるとして，第5章の比例賭けのような閉じた式で書けるだろうか．15.2 節がそれに答える．

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