15.8 万能ポートフォリオ

分布を知らない者に何ができるか．15.2 節の対数最適ポートフォリオ $𝑏 *$ （定義 15.2.3）も，15.7 節の $𝑏 * 𝑘$ （定義 15.7.2）も，組むには分布が要る．手元にそれがないとして，先を知らずに運用したとき，どこまで行けるか．これが本節の問いである．

答えるために道具立てを変える．ここまでの本章は市場に分布を置き，株価比を確率変数として扱ってきた．本節の評価は分布を置かない．株価比は $1$ 本の決まった系列として与えられ，確率も期待値も出てこない．したがってその対象について倍加率（定義 15.1.4）を書くことはできない．分布についての期待値として定めた量なので，当てる先がないからである．倍加率が出てくるのは，分布を置いた節の市場とくらべるときだけで，市場そのものに分布を戻すのは節の終わりの系 15.8.12 である．期の数え方は 15.6 節と同じく第 $0$ 期からとる．

課す条件は，株価比がどれも正であること（定義 15.1.1）だけである．銘柄が二つ以上あることは，ポートフォリオ全体を自由座標で径数付ける補題 15.8.2 と，その径数付けを使う主張で要る．15.5 節が市場を i.i.d. とし，15.6 節がそれを定常でエルゴード的としたのにくらべれば，仮定はこれだけ広い．そのぶん，比べる相手を狭くとる．比べる相手は，毎期同じ比率に配分し直すポートフォリオ，しかも系列を全部見終わってから後知恵で選んだ最良のものである．後知恵で選べるなら苦労はないので，これは相手として強い．問いは，先を知らずに運用して，その相手にどこまで食らいつけるか，である．Cover が与えた答えは，どれか一つのポートフォリオを当てにいくのではなく，ポートフォリオ全体に薄く賭けておく，というものである．

定義 15.8.1（定率再配分ポートフォリオの資産）. $𝑚 \geq 1$ とし， $𝑥 0, 𝑥 1, 𝑥 2, \dots$ を株価比（定義 15.1.1）の列とする（分布は置かない）．ポートフォリオ（定義 15.1.2） $𝑏$ を毎期同じ比率にとって配分し直す運用を 定率再配分ポートフォリオ と呼び，初期資産を $1$ として，整数 $𝑛 \geq 0$ に対しその $𝑛$ 期後の資産を

𝑆 𝑛 (𝑏) : = 𝑛 - 1 \prod 𝑖 = 0 𝑚 \sum 𝑗 = 1 𝑏 (𝑗) 𝑥 𝑖 (𝑗)

と定める（ $𝑛 = 0$ のときは空の積で $𝑆 0 (𝑏) = 1$ である）．

形式化: constWealth (ソース)

これは定義 15.1.3 の資産を，確率変数の列ではなく決まった系列について書き直したものである．補題 15.1.5 より定義 15.8.1 の積のどの因子も正だから， $𝑆 𝑛 (𝑏) > 0$ である．

ポートフォリオ全体の上で薄く賭けるとは，どういうことか．以下の径数付けは，銘柄が二つ以上ある場合のものである．ポートフォリオ $𝑏$ は，はじめの $𝑚 - 1$ 個の成分を並べた $𝑦 : = (𝑏 (1), \dots, 𝑏 (𝑚 - 1))$ を決めれば，残りが $𝑏 (𝑚) = 1 - \sum 𝑚 - 1 𝑗 = 1 𝑦 𝑗$ で決まる（本節の $𝑦$ はこの自由座標で，15.4 節が副情報の値に使った $𝑦$ とは別である）．逆に

𝑦 𝑗 \geq 0 (1 \leq 𝑗 \leq 𝑚 - 1), 𝑚 - 1 \sum 𝑗 = 1 𝑦 𝑗 \leq 1

を満たす $𝑦 \in ℝ 𝑚 - 1$ からは，同じ式でポートフォリオが作れる．そこで，この $𝑦$ の動く範囲の上で $𝑚 - 1$ 次元の体積について平均をとることにする．平均が定まるには，範囲の各点で作ったものがほんとうにポートフォリオであることと，範囲の体積が正であることが要る．どちらも次の補題が与える．以下では，連続性・積分・体積・冪についての微積分の計算規則を既知とする（連続性は 15.2 節が既知とした一次結合・商・合成・有限和に，有限個の積を足したものである）．一つだけ重いのは， $ℝ 𝑚 - 1$ の集合を比 $𝜆 > 0$ で相似に縮めた像の体積が，もとの体積の $𝜆 𝑚 - 1$ 倍になることで，これは定理 15.8.7 の証明で効く．

補題 15.8.2（自由座標による径数付け）. $𝑚 \geq 2$ とし， $𝑦$ の動く範囲を， $𝑦 𝑗 \geq 0$ （ $1 \leq 𝑗 \leq 𝑚 - 1$ ）と $\sum 𝑚 - 1 𝑗 = 1 𝑦 𝑗 \leq 1$ を満たす $𝑦 \in ℝ 𝑚 - 1$ の全体とする．範囲の点 $𝑦$ に対し， $𝑏 𝑦 (𝑗) : = 𝑦 𝑗$ （ $1 \leq 𝑗 \leq 𝑚 - 1$ ）， $𝑏 𝑦 (𝑚) : = 1 - \sum 𝑚 - 1 𝑗 = 1 𝑦 𝑗$ とおく．このとき次の二つが成り立つ．

範囲のどの点 $𝑦$ についても， $𝑏 𝑦$ はポートフォリオ（定義 15.1.2）である．
範囲の $𝑚 - 1$ 次元の体積は正である．

証明.

範囲の点 $𝑦$ をとる． $1 \leq 𝑗 \leq 𝑚 - 1$ については $𝑏 𝑦 (𝑗) = 𝑦 𝑗 \geq 0$ であり，第 $𝑚$ 成分は $\sum 𝑚 - 1 𝑗 = 1 𝑦 𝑗 \leq 1$ より $𝑏 𝑦 (𝑚) \geq 0$ である．総和は $\sum 𝑚 - 1 𝑗 = 1 𝑦 𝑗 + (1 - \sum 𝑚 - 1 𝑗 = 1 𝑦 𝑗) = 1$ だから，定義 15.1.2 より $𝑏 𝑦$ はポートフォリオである．
範囲は，すべての成分が $0$ 以上 $1 / 𝑚$ 以下であるような $𝑦$ の全体，すなわち辺の長さ $1 / 𝑚$ の立方体を含む．実際その各点は $𝑦 𝑗 \geq 0$ を満たし，成分の和も $(𝑚 - 1) / 𝑚 \leq 1$ だから範囲の条件を満たす．既知とした計算規則より $𝑚 - 1$ 次元の体積は包含について単調であり，この立方体の体積は $𝑚 - (𝑚 - 1) > 0$ だから，範囲の体積も正である．

$◻$

形式化: 範囲の点がポートフォリオであること simplexLift_mem_stdSimplex，範囲の体積が正であること volume_cornerSimplex_pos (ソース)

定義 15.8.3（万能ポートフォリオの資産）. $𝑚 \geq 2$ とし，ほかは定義 15.8.1 と同じ設定とする． $𝑦$ の動く範囲は補題 15.8.2 のとおりとする．整数 $𝑛 \geq 0$ に対し，万能ポートフォリオの資産 を

ˆ 𝑆 𝑛 : = \int 𝑆 𝑛 (𝑏 𝑦) 𝑑 𝑦 \int 𝑑 𝑦

と定める．二つの積分はどちらもこの範囲にわたる $𝑚 - 1$ 次元の積分で， $𝑏 𝑦$ は補題 15.8.2 のポートフォリオ， $𝑆 𝑛$ は定義 15.8.1 の資産である．

形式化: universalWealth (ソース)

$ˆ 𝑆 𝑛$ は，初期資産を $𝑦$ の範囲に一様にばらまき，それぞれの取り分をそれぞれのポートフォリオで運用したときの， $𝑛$ 期後の資産の合計にあたる．定義 15.8.3 が定めたのは資産の数値だが，この運用は，第 $𝑖$ 期に何を持つかという形にも書き直せる．第 $𝑖$ 期の配分は，範囲の各点の $𝑏 𝑦$ を，その点がそこまでに稼いだ資産 $𝑆 𝑖 (𝑏 𝑦)$ で重みづけして平均したもの，すなわち銘柄 $𝑗$ への配分が

ˆ 𝑏 𝑖 (𝑗) = \int 𝑆 𝑖 (𝑏 𝑦) 𝑏 𝑦 (𝑗) 𝑑 𝑦 \int 𝑆 𝑖 (𝑏 𝑦) 𝑑 𝑦

であるようなポートフォリオ $ˆ 𝑏 𝑖$ になる．重みに現れる株価比は第 $𝑖$ 期より前のものだけだから，どのポートフォリオが良いかを当てにいっておらず，先を知る必要もない．そのことは命題 15.8.11 が確かめる．いっぽう，どれか一つに集中していないので，最良のものにそのまま並ぶこともない．どれだけ離されるかを測るのが本節の仕事である．

定義 15.8.4（後知恵の最良の資産）. 定義 15.8.1 と同じ設定とし，整数 $𝑛 \geq 0$ に対し

𝑆 * 𝑛 : = s u p 𝑏 𝑆 𝑛 (𝑏)

と定める．上限はポートフォリオ（定義 15.1.2）全体にわたるもので， $𝑆 𝑛$ は定義 15.8.1 の資産である（この上限が実数であることは命題 15.8.5 が与える）．

形式化: bestConstantWealth (ソース)

この上限が達成されることを先に見ておく．それを与えるポートフォリオは，以下 $𝑏 m a x$ と書く．定義 15.2.3 の対数最適ポートフォリオ $𝑏 *$ とは別のもので，あちらは分布から決まるのに対し，こちらは $1$ 本の系列と期数 $𝑛$ から決まる．

命題 15.8.5（後知恵の最良の資産の達成）. $𝑚 \geq 1$ とし， $𝑥 0, 𝑥 1, 𝑥 2, \dots$ を株価比（定義 15.1.1）の列， $𝑛 \geq 0$ を整数とする．このとき，どのポートフォリオ（定義 15.1.2） $𝑏$ についても $𝑆 𝑛 (𝑏) \leq 𝑆 𝑛 (𝑏 m a x)$ を満たすポートフォリオ $𝑏 m a x$ が存在し， $𝑆 * 𝑛 = 𝑆 𝑛 (𝑏 m a x)$ である（ $𝑆 𝑛$ は定義 15.8.1， $𝑆 * 𝑛$ は定義 15.8.4 のものである）．

証明. ポートフォリオ全体は実ベクトル空間 $ℝ 𝑚$ の部分集合であり，銘柄 $1$ に全額を寄せた組が入っているから空でなく，どのポートフォリオでも $0 \leq 𝑏 (𝑗) \leq 1$ だから有界であり，定義 15.1.2 の条件が成分についての等式と不等式で書けているから閉である． $𝑏 \mapsto \sum 𝑗 𝑏 (𝑗) 𝑥 𝑖 (𝑗)$ は成分の一次結合だから 15.2 節の規則より連続で，本節が足した規則より有限個の積 $𝑆 𝑛 (\cdot)$ も連続である．そこで 15.2 節が借りた Weierstrass の最大値定理より， $𝑆 𝑛 (\cdot)$ はポートフォリオ全体の上で最大値をとる．それを与えるポートフォリオを $𝑏 m a x$ とすれば，どのポートフォリオ $𝑏$ についても $𝑆 𝑛 (𝑏) \leq 𝑆 𝑛 (𝑏 m a x)$ である．したがって定義 15.8.4 の上限は $𝑆 𝑛 (𝑏 m a x)$ である． $◼$

形式化上の注記. 命題 15.8.5 に対応する単独の宣言はない．形式化は最大値の達成を自由座標の側で述べている（bestConstantWealth_attained (InformationTheory/Shannon/Portfolio/Universal.lean)）．すなわち，補題 15.8.2 の範囲の点 $𝑦$ で，上限が $𝑆 𝑛 (𝑏 𝑦)$ に等しく，かつ範囲のどの点 $𝑧$ についても $𝑆 𝑛 (𝑏 𝑧)$ がその上限以下であるようなものが存在する，という形である．銘柄が二つ以上あれば，どのポートフォリオも範囲のある点の $𝑏 𝑧$ だから，本文の主張はこの二つを合わせれば出る．銘柄が一つのときはポートフォリオが一つしかないから，主張はそのまま成り立つ．

命題 15.8.6（後知恵の最良による万能ポートフォリオの上界）. $𝑚 \geq 2$ とし， $𝑥 0, 𝑥 1, 𝑥 2, \dots$ を株価比（定義 15.1.1）の列とする．このとき，どの整数 $𝑛 \geq 0$ についても $ˆ 𝑆 𝑛 \leq 𝑆 * 𝑛$ である（ $ˆ 𝑆 𝑛$ は定義 15.8.3， $𝑆 * 𝑛$ は定義 15.8.4 のものである）．

証明. 命題 15.8.5 より $𝑆 * 𝑛$ は実数である．補題 15.8.2 より範囲のどの点 $𝑦$ でも $𝑏 𝑦$ はポートフォリオだから，定義 15.8.4 より $𝑆 𝑛 (𝑏 𝑦) \leq 𝑆 * 𝑛$ である．既知とした計算規則より積分は関数の大小を保つので， $\int 𝑆 𝑛 (𝑏 𝑦) 𝑑 𝑦 \leq 𝑆 * 𝑛 \int 𝑑 𝑦$ である．補題 15.8.2 より範囲の体積 $\int 𝑑 𝑦$ は正だから，両辺をそれで割れば主張を得る． $◼$

形式化: universalWealth_le_bestConstantWealth (ソース)

平均は最大を超えない，というだけである．逆向き，すなわち平均が最大からどれだけ下かが本節の中身で，ここに $𝑛$ が入ってくる．鍵は，最良のポートフォリオの近くには最良に近いポートフォリオが集まっており，その集まりの体積が $𝑛$ の多項式の逆数ぶんしかつぶれない，という一点である．

定理 15.8.7（後知恵の最良と万能ポートフォリオの資産比の上界）. $𝑚 \geq 2$ とし， $𝑥 0, 𝑥 1, 𝑥 2, \dots$ を株価比（定義 15.1.1）の列とする．このとき，どの整数 $𝑛 \geq 0$ についても

𝑆 * 𝑛 \leq 𝑒 (𝑛 + 1) 𝑚 - 1 ˆ 𝑆 𝑛

である（ $ˆ 𝑆 𝑛$ は定義 15.8.3， $𝑆 * 𝑛$ は定義 15.8.4 のもの， $𝑒$ は自然対数の底である）．

証明. $𝑛 = 0$ のときは定義 15.8.1 よりどのポートフォリオでも $𝑆 0 (𝑏) = 1$ だから，定義 15.8.3 と定義 15.8.4 より $ˆ 𝑆 0 = 𝑆 * 0 = 1$ であり， $𝑒 \geq 1$ から主張が従う．以下 $𝑛 \geq 1$ とし， $𝜆 : = 1 / (𝑛 + 1)$ とおく．

まず $(1 - 𝜆) 𝑛 \geq 𝑒 - 1$ を見る．補題 1.1.7 の対数不等式 $l o g 𝑢 \leq (𝑢 - 1) l o g 𝑒$ を $𝑢 : = (𝑛 + 1) / 𝑛$ に当てると $l o g 𝑛 + 1 𝑛 \leq 1 𝑛 l o g 𝑒$ であり，両辺を $𝑛$ 倍して $l o g (𝑛 + 1 𝑛) 𝑛 \leq l o g 𝑒$ を得る．対数の単調性（補題 8.2.5）より，正の二数の一方が他方より真に大きければ対数も真に大きいので，対数の側のこの不等号から $(𝑛 + 1 𝑛) 𝑛 \leq 𝑒$ が従う．逆数をとれば $(1 - 𝜆) 𝑛 = (𝑛 𝑛 + 1) 𝑛 \geq 𝑒 - 1$ である．

つぎに縮める先を作る．命題 15.8.5 の $𝑏 m a x$ をとり，その自由座標を $𝑦 m a x : = (𝑏 m a x (1), \dots, 𝑏 m a x (𝑚 - 1))$ とおくと， $𝑦 m a x$ は補題 15.8.2 の範囲に入る．範囲の点 $𝑦$ に $(1 - 𝜆) 𝑦 m a x + 𝜆 𝑦$ を対応させる写像を考える．範囲は，成分についての不等式と成分の和についての不等式で書けているから凸であり， $0 \leq 𝜆 \leq 1$ だからこの写像は範囲を範囲の中へ移す．また各成分を見れば $𝑏 (1 - 𝜆) 𝑦 m a x + 𝜆 𝑦 = (1 - 𝜆) 𝑏 𝑦 m a x + 𝜆 𝑏 𝑦$ である（第 $𝑚$ 成分については $(1 - 𝜆) + 𝜆 = 1$ による）．

像の上で資産を下から抑える． $𝑦$ を範囲の点， $𝑖$ を $0 \leq 𝑖 \leq 𝑛 - 1$ の整数とすると，補題 15.8.2 と補題 15.1.5 より $𝑏 𝑦$ の資産倍率は正だから

𝑚 \sum 𝑗 = 1 𝑏 (1 - 𝜆) 𝑦 m a x + 𝜆 𝑦 (𝑗) 𝑥 𝑖 (𝑗) = (1 - 𝜆) 𝑚 \sum 𝑗 = 1 𝑏 m a x (𝑗) 𝑥 𝑖 (𝑗) + 𝜆 𝑚 \sum 𝑗 = 1 𝑏 𝑦 (𝑗) 𝑥 𝑖 (𝑗) \geq (1 - 𝜆) 𝑚 \sum 𝑗 = 1 𝑏 m a x (𝑗) 𝑥 𝑖 (𝑗)

である．どちらの辺も正だから， $𝑖 = 0$ から $𝑛 - 1$ まで掛け合わせて定義 15.8.1 より

𝑆 𝑛 (𝑏 (1 - 𝜆) 𝑦 m a x + 𝜆 𝑦) \geq (1 - 𝜆) 𝑛 𝑆 𝑛 (𝑏 m a x) \geq 𝑒 - 1 𝑆 * 𝑛

を得る（第 $2$ の不等号は上に見た $(1 - 𝜆) 𝑛 \geq 𝑒 - 1$ と命題 15.8.5 による）．

体積を数える．この写像は範囲を比 $𝜆$ で相似に縮めたものだから，既知とした計算規則より像の体積は範囲の体積の $𝜆 𝑚 - 1$ 倍である．像を $𝐴$ と書くと，補題 15.8.2 と補題 15.1.5 より $𝑆 𝑛$ は範囲の上で正で， $𝐴$ は範囲に含まれるから

\int 𝑆 𝑛 (𝑏 𝑦) 𝑑 𝑦 \geq \int 𝐴 𝑆 𝑛 (𝑏 𝑦) 𝑑 𝑦 \geq 𝑒 - 1 𝑆 * 𝑛 𝜆 𝑚 - 1 \int 𝑑 𝑦

である．両辺を，補題 15.8.2 より正である範囲の体積 $\int 𝑑 𝑦$ で割ると定義 15.8.3 より $ˆ 𝑆 𝑛 \geq 𝑒 - 1 𝜆 𝑚 - 1 𝑆 * 𝑛$ であり， $𝜆 - (𝑚 - 1) = (𝑛 + 1) 𝑚 - 1$ を掛けて整理すれば主張を得る． $◼$

形式化: bestConstantWealth_le_mul_universalWealth (ソース)

形式化上の注記. 形式化は銘柄の数ではなく自由座標の個数で径数付ける．そのため銘柄の数は宣言では「自由座標の個数 $+ 1$ 」の形で現れ，右辺の指数はその自由座標の個数，すなわち本文の $𝑚 - 1$ である．定数は本文と同じ $𝑒$ で，両辺の係数まで本文の不等式と一致する．

$(𝑛 + 1) 𝑚 - 1$ という因子は，縮めた像の体積が範囲の $𝜆 𝑚 - 1$ 倍にしかならないことから出ている．銘柄が多いほど自由座標が増え，同じ比で縮めたときに残る体積が小さくなるので，薄く賭けたぶんの取り分も減る．いっぽう $𝑒$ のほうは，縮める比を $𝜆 = 1 / (𝑛 + 1)$ にとったときに $(1 - 𝜆) 𝑛$ が下がりきらないことから出ていて， $𝑛$ にも $𝑚$ にも依らない．二つとも資産そのものにかかる倍率なので，期を重ねるほど効いてくるように見えるが， $1$ 期あたりに直すと様子が変わる．

系 15.8.8. $𝑚 \geq 2$ とし， $𝑥 0, 𝑥 1, 𝑥 2, \dots$ を株価比（定義 15.1.1）の列とする．このとき，どの整数 $𝑛 \geq 1$ についても

0 \leq 1 𝑛 (l o g 𝑆 * 𝑛 - l o g ˆ 𝑆 𝑛) \leq l o g 𝑒 + (𝑚 - 1) l o g (𝑛 + 1) 𝑛

である（ $ˆ 𝑆 𝑛$ は定義 15.8.3， $𝑆 * 𝑛$ は定義 15.8.4 のものである）．

証明. 命題 15.8.5 より $𝑆 * 𝑛 = 𝑆 𝑛 (𝑏 m a x) > 0$ であり，定理 15.8.7 より $ˆ 𝑆 𝑛 \geq 𝑒 - 1 (𝑛 + 1) - (𝑚 - 1) 𝑆 * 𝑛 > 0$ だから，どちらの対数も定まる．命題 15.8.6 と補題 8.2.5 より $l o g ˆ 𝑆 𝑛 \leq l o g 𝑆 * 𝑛$ で， $𝑛 > 0$ で割れば左の不等号を得る．定理 15.8.7 と補題 8.2.5 より

l o g 𝑆 * 𝑛 \leq l o g (𝑒 (𝑛 + 1) 𝑚 - 1 ˆ 𝑆 𝑛) = l o g 𝑒 + (𝑚 - 1) l o g (𝑛 + 1) + l o g ˆ 𝑆 𝑛

であり，移項して $𝑛$ で割れば右の不等号を得る． $◼$

形式化上の注記. 系 15.8.8 に対応する単独の宣言はない． $1$ 期あたりの差を上下から抑えることを結論にもつ宣言を結論の形で探すと，定理 15.8.9 の紐付け先の証明の中に足場として現れるだけで，公開された宣言にはなっていない．足場の抑え方は本文と同じである．ただし宣言の側は対数を自然対数でとるので，本文の $l o g 𝑒$ にあたる項がそこでは $1$ になる．機械検証が及ぶのは定理 15.8.9 の収束までで，そこへ至る途中の不等式は宣言として取り出されていない．

右辺は $𝑛$ を大きくすると $0$ に近づく．次の証明では， $𝑛 \to \infty$ で $l o g (𝑛 + 1) / 𝑛 \to 0$ であることと，挟み撃ちの原理，すなわち同じ値に収束する二つの数列に挟まれた数列がその値に収束することを既知とする．

定理 15.8.9（ $1$ 期あたりの差の $0$ への収束）. $𝑚 \geq 2$ とし， $𝑥 0, 𝑥 1, 𝑥 2, \dots$ を株価比（定義 15.1.1）の列とする．このとき

1 𝑛 (l o g 𝑆 * 𝑛 - l o g ˆ 𝑆 𝑛) ⟶ 0 (𝑛 \to \infty)

である（ $ˆ 𝑆 𝑛$ は定義 15.8.3， $𝑆 * 𝑛$ は定義 15.8.4 のものである）．

証明. 系 15.8.8 の右辺は $l o g 𝑒 𝑛 + (𝑚 - 1) l o g (𝑛 + 1) 𝑛$ であり，どちらの項も $𝑛 \to \infty$ で $0$ に収束する．左辺は $0$ だから，挟み撃ちにより中央も $0$ に収束する． $◼$

形式化: universal_portfolio_regret_tendsto_zero (ソース)

定理 15.8.9 は，どの系列についても， $1$ 期あたりの増え方で測るかぎり万能ポートフォリオが後知恵の最良に追いつくと言っている．資産そのものの比について本書が言えるのは $𝑒 (𝑛 + 1) 𝑚 - 1$ 以下ということだけなので，追いついているのは指数の肩の話である．補題 3.5.3 が「期待値が $1$ で抑えられた比は $1 𝑛 l o g$ の尺度では消える」と言っていたのと同じ粗さで見ている，ということでもある．どのくらい粗いかは，数を入れてみるとはっきりする．

例 15.8.10（交互に上下する系列）. $𝑚 = 2$ とし，銘柄 $1$ は株価比がつねに $1$ ，銘柄 $2$ は偶数の期に $2$ ，奇数の期に $1 / 2$ であるとする．すなわち $𝑥 𝑖 (1) = 1$ とし，偶数の $𝑖$ で $𝑥 𝑖 (2) = 2$ ，奇数の $𝑖$ で $𝑥 𝑖 (2) = 1 / 2$ とする．このとき偶数の整数 $𝑛 \geq 0$ について $𝑆 * 𝑛 = (9 / 8) 𝑛 / 2$ であり，そのうち $𝑛 \geq 2$ のものについては $1 𝑛 l o g 𝑆 * 𝑛 = 12 l o g 98 = 0.0849 \dots$ である．また $ˆ 𝑆 2 = 1312$ （定義 15.8.3）で，これは $𝑆 * 2 = 98$ の $2627 = 0.9629 \dots$ 倍である．いっぽう系 15.8.8 の右辺の値は， $𝑛 = 94$ で $0.0852 \dots$ ， $𝑛 = 95$ で $0.0845 \dots$ ， $𝑛 = 100$ で $0.0810 \dots$ ， $𝑛 = 500$ で $0.0208 \dots$ ， $𝑛 = 1000$ で $0.0114 \dots$ である（ $𝑆 * 𝑛$ は定義 15.8.4 のものである）．

証明. ポートフォリオを $𝑏 (2) = 𝛽$ ， $𝑏 (1) = 1 - 𝛽$ （ $0 \leq 𝛽 \leq 1$ ）と書く．この $𝛽$ は 15.2 節が断った二つのうちの，銘柄 $2$ への配分のほうである．資産倍率は偶数の期で $(1 - 𝛽) + 2 𝛽 = 1 + 𝛽$ ，奇数の期で $(1 - 𝛽) + 12 𝛽 = 1 - 12 𝛽$ だから，偶数の $𝑛$ について定義 15.8.1 より $𝑆 𝑛 (𝑏) = [(1 + 𝛽) (1 - 12 𝛽)] 𝑛 / 2$ である．平方完成すると

(1 + 𝛽) (1 - 12 𝛽) = 98 - 12 (𝛽 - 12) 2

だから，この値は $𝛽 = 1 / 2$ で最大 $9 / 8$ をとる．偶数の $𝑛 \geq 2$ については，正の数の $𝑛 / 2$ 乗が単調だから定義 15.8.4 より $𝑆 * 𝑛 = (9 / 8) 𝑛 / 2$ であり， $𝑛 = 0$ のときは両辺とも $1$ で等式が成り立つ．両辺の対数を $𝑛$ で割れば $1 𝑛 l o g 𝑆 * 𝑛 = 12 l o g 98$ で，例 15.1.6 よりこの値は $0.0849 \dots$ である．

$ˆ 𝑆 2$ を求める． $𝑚 = 2$ だから補題 15.8.2 の範囲は $0 \leq 𝑦 \leq 1$ を満たす実数 $𝑦$ の全体で， $𝑏 𝑦 (1) = 𝑦$ ， $𝑏 𝑦 (2) = 1 - 𝑦$ ，すなわち $𝑦 = 1 - 𝛽$ である．資産倍率は第 $0$ 期で $𝑦 + 2 (1 - 𝑦) = 2 - 𝑦$ ，第 $1$ 期で $𝑦 + 12 (1 - 𝑦) = 1 + 𝑦 2$ だから，定義 15.8.1 より $𝑆 2 (𝑏 𝑦) = (2 - 𝑦) (1 + 𝑦) 2 = 2 + 𝑦 - 𝑦 2 2$ である．範囲の体積は $\int 10 𝑑 𝑦 = 1$ で，分子は

\int 10 2 + 𝑦 - 𝑦 2 2 𝑑 𝑦 = 12 (2 + 12 - 13) = 1312

だから，定義 15.8.3 より $ˆ 𝑆 2 = 1312$ である． $𝑆 * 2 = 98$ との比は $1312 \cdot 89 = 2627 = 0.9629 \dots$ である．

系 15.8.8 の右辺は $𝑚 = 2$ だから $(l o g 𝑒 + l o g (𝑛 + 1)) / 𝑛$ である． $l o g 𝑒 = 1.4426 \dots$ ， $l o g 95 = 6.5698 \dots$ ， $l o g 96 = 6.5849 \dots$ ， $l o g 101 = 6.6582 \dots$ ， $l o g 501 = 8.9686 \dots$ ， $l o g 1001 = 9.9672 \dots$ を代入して割ると，順に $0.0852 \dots$ ， $0.0845 \dots$ ， $0.0810 \dots$ ， $0.0208 \dots$ ， $0.0114 \dots$ を得る． $◼$

例 15.8.10 の系列は，例 15.1.6 の市場が上下を交互に出したものにあたる． $1$ 期あたりの増え方も例 15.2.6 の対数最適ポートフォリオの倍加率と同じ $0.0849 \dots$ で，最良を与える比率 $𝛽 = 1 / 2$ も同じである．そこに系 15.8.8 の上界を並べると，本章がほかの例で使ってきた $𝑛 = 100$ という規模では，上界のほうが増え方の $0.95$ 倍あって，ほとんど何も保証していない．上界が長い目で見た増え方 $0.0849 \dots$ を下回るのは $𝑛 = 94$ と $𝑛 = 95$ のあいだで，増え方の $0.25$ 倍まで下がるのが $𝑛 = 500$ ， $0.13$ 倍が $𝑛 = 1000$ である．増え方の $1 / 10$ にあたる $0.0084 \dots$ を下回るのは， $𝑛 = 1000$ でまだ $0.0114 \dots$ なのだから，さらに先になる．系 15.8.8 の右辺は $l o g (𝑛 + 1) / 𝑛$ の速さでしか落ちないからで，上界だけを見て万能ポートフォリオが後知恵の最良に食らいついていると言えるのは，銘柄が $2$ つのこの系列でも数百期から先である．

ここまで並べたのは上界の値である．実物はどうか． $𝑚 = 2$ だから定義 15.8.3 の分子は $1$ 変数の積分で，偶数の $𝑛$ では被積分関数が自由座標の多項式になるから，値は有限回の四則で求まる．例 15.8.10 の $𝑛 = 2$ がその計算で， $ˆ 𝑆 2 = 1312$ は $𝑆 * 2 = 98$ の $0.9629 \dots$ 倍， $1$ 期あたりの差に直すと $12 l o g 2726 = 0.0272 \dots$ である．同じ $𝑛 = 2$ での系 15.8.8 の上界は $l o g 𝑒 + l o g 3 2 = 1.5138 \dots$ だから，けた違いに緩い． $𝑛$ を大きくすると多項式の次数が上がって手では追えなくなるので，以下の値は数値計算による． $𝑛 = 100$ では $ˆ 𝑆 𝑛$ が $𝑆 * 𝑛$ のおよそ $0.373$ 倍，すなわち $361.09 \dots$ に対する $134.68 \dots$ で， $1$ 期あたりの差に直すと $0.0142 \dots$ である．上界 $0.0810 \dots$ の $5$ 分の $1$ を切っている． $𝑛 = 1000$ ではおよそ $0.119$ 倍， $1$ 期あたり $0.00307 \dots$ で，上界は $0.0114 \dots$ である．前の段落が数百期と言ったのは上界が落ちる速さの話であって，万能ポートフォリオそのものは $𝑛 = 100$ ですでに後知恵の最良のおよそ $4$ 割まで来ている．実物について本書が示したのは例 15.8.10 の $𝑛 = 2$ の値までで，ここに並べた大きい $𝑛$ の値は本書の主張ではない．

ここまで万能ポートフォリオは，資産の数値としてだけ語られてきた．本章がずっと問うてきたのは「どの $𝑏$ を持つか」だったのだから，その形に書き直しておく．

命題 15.8.11（万能ポートフォリオの毎期の配分）. $𝑚 \geq 2$ とし， $𝑥 0, 𝑥 1, 𝑥 2, \dots$ を株価比（定義 15.1.1）の列， $𝑦$ の動く範囲を補題 15.8.2 のとおりとする．整数 $𝑖 \geq 0$ について $\int 𝑆 𝑖 (𝑏 𝑦) 𝑑 𝑦 > 0$ であり，

ˆ 𝑏 𝑖 (𝑗) : = \int 𝑆 𝑖 (𝑏 𝑦) 𝑏 𝑦 (𝑗) 𝑑 𝑦 \int 𝑆 𝑖 (𝑏 𝑦) 𝑑 𝑦 (1 \leq 𝑗 \leq 𝑚)

で定まる $ˆ 𝑏 𝑖$ はポートフォリオ（定義 15.1.2）である．さらに，どの整数 $𝑛 \geq 0$ についても

ˆ 𝑆 𝑛 = 𝑛 - 1 \prod 𝑖 = 0 𝑚 \sum 𝑗 = 1 ˆ 𝑏 𝑖 (𝑗) 𝑥 𝑖 (𝑗)

である（積分はどちらも補題 15.8.2 の範囲にわたる $𝑚 - 1$ 次元の積分， $𝑏 𝑦$ は補題 15.8.2 のポートフォリオ， $𝑆 𝑖$ は定義 15.8.1， $ˆ 𝑆 𝑛$ は定義 15.8.3 のものである）．

証明. まず分母が正であることを見る．定義 15.8.3 より $\int 𝑆 𝑖 (𝑏 𝑦) 𝑑 𝑦 = ˆ 𝑆 𝑖 \int 𝑑 𝑦$ である．命題 15.8.5 と補題 15.1.5 より $𝑆 * 𝑖 = 𝑆 𝑖 (𝑏 m a x) > 0$ であり，定理 15.8.7 より $ˆ 𝑆 𝑖 \geq 𝑒 - 1 (𝑖 + 1) - (𝑚 - 1) 𝑆 * 𝑖 > 0$ だから，補題 15.8.2 より正である $\int 𝑑 𝑦$ とあわせて $\int 𝑆 𝑖 (𝑏 𝑦) 𝑑 𝑦 > 0$ である．

$ˆ 𝑏 𝑖$ がポートフォリオであることに移る．補題 15.8.2 より範囲のどの点でも $𝑏 𝑦$ はポートフォリオだから $𝑏 𝑦 (𝑗) \geq 0$ であり，補題 15.1.5 より $𝑆 𝑖 (𝑏 𝑦) > 0$ だから，分子の被積分関数は非負である．既知とした計算規則より積分は関数の大小を保つので分子は $0$ 以上であり，分母は正だから $ˆ 𝑏 𝑖 (𝑗) \geq 0$ である．総和については，定義 15.1.2 より $\sum 𝑚 𝑗 = 1 𝑏 𝑦 (𝑗) = 1$ だから，既知とした計算規則より

𝑚 \sum 𝑗 = 1 \int 𝑆 𝑖 (𝑏 𝑦) 𝑏 𝑦 (𝑗) 𝑑 𝑦 = \int 𝑆 𝑖 (𝑏 𝑦) 𝑚 \sum 𝑗 = 1 𝑏 𝑦 (𝑗) 𝑑 𝑦 = \int 𝑆 𝑖 (𝑏 𝑦) 𝑑 𝑦

であり，両辺を分母で割れば $\sum 𝑚 𝑗 = 1 ˆ 𝑏 𝑖 (𝑗) = 1$ を得る．

積の形を見る．定義 15.8.1 より $𝑆 𝑖 + 1 (𝑏 𝑦) = 𝑆 𝑖 (𝑏 𝑦) \sum 𝑚 𝑗 = 1 𝑏 𝑦 (𝑗) 𝑥 𝑖 (𝑗)$ だから，同じ計算規則で和と定数倍を積分の外に出して

\int 𝑆 𝑖 + 1 (𝑏 𝑦) 𝑑 𝑦 = 𝑚 \sum 𝑗 = 1 𝑥 𝑖 (𝑗) \int 𝑆 𝑖 (𝑏 𝑦) 𝑏 𝑦 (𝑗) 𝑑 𝑦 = (𝑚 \sum 𝑗 = 1 ˆ 𝑏 𝑖 (𝑗) 𝑥 𝑖 (𝑗)) \int 𝑆 𝑖 (𝑏 𝑦) 𝑑 𝑦

である．両辺を $\int 𝑑 𝑦$ で割ると，定義 15.8.3 より $ˆ 𝑆 𝑖 + 1 = (\sum 𝑚 𝑗 = 1 ˆ 𝑏 𝑖 (𝑗) 𝑥 𝑖 (𝑗)) ˆ 𝑆 𝑖$ である．いっぽう定義 15.8.1 より $𝑆 0 (𝑏 𝑦) = 1$ だから定義 15.8.3 より $ˆ 𝑆 0 = 1$ で，これは $𝑛 = 0$ のときの空の積に等しい．あとは $𝑛$ についての帰納法で主張を得る． $◼$

形式化上の注記. 命題 15.8.11 に対応する単独の宣言はない．万能ポートフォリオの資産 universalWealth (InformationTheory/Shannon/Portfolio/Universal.lean) を $1$ 期ごとの配分の資産倍率の積として書き直すことを結論にもつ宣言を，結論の形で探して見つからなかった．形式化が持つのは定義 15.8.3 の平均の形だけで， $ˆ 𝑏 𝑖$ にあたる定義も置かれていない．三つの主張のうち分母が正であることだけは，本文の証明と同じ運びで， $ˆ 𝑆 𝑖$ が正であること universalWealth_pos と範囲の体積が正であること volume_cornerSimplex_toReal_pos（どちらも同じファイルにある）を合わせれば出る．

$ˆ 𝑏 𝑖$ を定める式に現れる株価比は $𝑥 0, \dots, 𝑥 𝑖 - 1$ だけである．だから第 $𝑖$ 期の配分を決めるのに先を知る必要がない．重みは各点の $𝑏 𝑦$ が第 $𝑖$ 期までに稼いだ資産 $𝑆 𝑖 (𝑏 𝑦)$ だから，よく稼いだ配分ほど重く持つ． $𝑖 = 0$ では株価比が一つも現れず， $ˆ 𝑏 0$ はポートフォリオ全体を一様に平均したものである．

本節の評価を 15.5 節・15.6 節のそれと比べる軸は三つある．

広いのは仮定である. 定理 15.8.9 までの評価は，分布を仮定せず，銘柄が二つ以上あることと株価比が正であること（定義 15.1.1）のほかは何も課していないので，どの系列にも当たる．i.i.d. でも定常でもない系列にも当たるし，市場が途中で性質を変えても当たる．

狭いのは比べる相手である. 定義 15.8.4 の上限は，毎期同じ比率に配分し直すポートフォリオの全体にわたるものである．15.7 節が扱った，過去を見て組み替える戦略は相手にしていない．本書は定率再配分ポートフォリオを相手にした評価しか与えない．

i.i.d. 市場では対数最適に並ぶ. 市場が i.i.d. のとき，万能ポートフォリオの $1$ 期あたりの増え方は，定理 15.5.1 が定義 15.2.3 の対数最適ポートフォリオについて与える倍加率（定義 15.1.4）とくらべてどうか．下からは，定義 15.8.4 の上限がポートフォリオ全体にわたるものである以上，後知恵の最良の資産が対数最適ポートフォリオの資産以上だから，定理 15.8.9 の評価がそのまま答える．上からは，後知恵の最良の増え方のほうを抑えることになるが，それを与えるポートフォリオは期数ごとに変わるので，ポートフォリオを一つ決めてから作る定理 15.5.1 の確率 $1$ の事象では足りない．すべてのポートフォリオを同時に覆う系 15.5.5 が要るのはここである．二つを合わせると，増え方は倍加率にちょうど一致する．次の証明では，挟み撃ちの原理と，収束する二つの数列の差の極限がそれぞれの極限の差であることを既知とする．

系 15.8.12（i.i.d. 市場での万能ポートフォリオの増え方）. $𝑚 \geq 2$ とし， $X$ を株価比（定義 15.1.1）からなる空でない有限集合， $𝑝$ を $X$ 上の分布， $𝑏 *$ を定義 15.2.3 の対数最適ポートフォリオとする．株価比の列 $𝑋 0, 𝑋 1, 𝑋 2, \dots$ が i.i.d. で，各 $𝑋 𝑖$ が分布 $𝑝$ に従うとし，実現した列を定義 15.8.1 の系列にとって $ˆ 𝑆 𝑛$ （定義 15.8.3）を定める．このとき確率 $1$ で

l i m 𝑛 \to \infty 1 𝑛 l o g ˆ 𝑆 𝑛 = 𝑊 (𝑏 *, 𝑝)

である（ $𝑊$ は定義 15.1.4 の倍加率である）．

証明. 系 15.5.5 を当てる．列に $𝑋' 𝑖 : = 𝑋 𝑖 - 1$ （ $𝑖 \geq 1$ ）と番号を付け直すと，これも i.i.d. で各項が分布 $𝑝$ に従い，どのポートフォリオ $𝑏$ についても定義 15.8.1 の $𝑆 𝑛 (𝑏)$ はこの列についての定義 15.1.3 の資産にほかならない．そこで系 15.5.5 をこの列に当てると，確率 $1$ の事象が一つ得られて，その上で

𝜀 𝑛 : = s u p 𝑏 ∣ 1 𝑛 l o g 𝑆 𝑛 (𝑏) - 𝑊 (𝑏, 𝑝) ∣ ⟶ 0

である（上限はポートフォリオ全体にわたるものである）．以下この事象の上で考え，整数 $𝑛 \geq 1$ を一つとる．

対数が定まることを見ておく．命題 15.8.5 より $𝑆 * 𝑛 = 𝑆 𝑛 (𝑏 m a x)$ を満たすポートフォリオ $𝑏 m a x$ があり（この $𝑏 m a x$ は $𝑛$ に依る），補題 15.1.5 より定義 15.8.1 の積の各因子は正だから $𝑆 * 𝑛 > 0$ である．定理 15.8.7 より $ˆ 𝑆 𝑛 \geq 𝑒 - 1 (𝑛 + 1) - (𝑚 - 1) 𝑆 * 𝑛 > 0$ だから， $ˆ 𝑆 𝑛$ の対数も定まる．

後知恵の最良の増え方を出す． $𝜀 𝑛$ の定め方から $1 𝑛 l o g 𝑆 𝑛 (𝑏 m a x) \leq 𝑊 (𝑏 m a x, 𝑝) + 𝜀 𝑛$ であり，定義 15.2.3 より $𝑊 (𝑏 m a x, 𝑝) \leq 𝑊 (𝑏 *, 𝑝)$ だから

1 𝑛 l o g 𝑆 * 𝑛 \leq 𝑊 (𝑏 *, 𝑝) + 𝜀 𝑛

である．いっぽう定義 15.8.4 の上限はポートフォリオ全体にわたるものだから $𝑆 𝑛 (𝑏 *) \leq 𝑆 * 𝑛$ であり，補題 15.1.5 より $𝑆 𝑛 (𝑏 *) > 0$ だから，対数の単調性（補題 8.2.5）と $𝜀 𝑛$ の定め方から

1 𝑛 l o g 𝑆 * 𝑛 \geq 1 𝑛 l o g 𝑆 𝑛 (𝑏 *) \geq 𝑊 (𝑏 *, 𝑝) - 𝜀 𝑛

である． $𝑛$ の選び方は任意だったから，この二つはどの整数 $𝑛 \geq 1$ についても成り立つ． $𝜀 𝑛 \to 0$ だから，挟み撃ちにより $1 𝑛 l o g 𝑆 * 𝑛 \to 𝑊 (𝑏 *, 𝑝)$ である．

万能ポートフォリオに移る．定理 15.8.9 はどの系列についても成り立つから，この事象の上でも $1 𝑛 (l o g 𝑆 * 𝑛 - l o g ˆ 𝑆 𝑛) \to 0$ である．よって

1 𝑛 l o g ˆ 𝑆 𝑛 = 1 𝑛 l o g 𝑆 * 𝑛 - 1 𝑛 (l o g 𝑆 * 𝑛 - l o g ˆ 𝑆 𝑛)

の右辺は収束する二つの数列の差であり，その極限は $𝑊 (𝑏 *, 𝑝)$ から $0$ を引いたもの，すなわち $𝑊 (𝑏 *, 𝑝)$ である． $◼$

形式化上の注記. 系 15.8.12 に対応する単独の宣言はない．万能ポートフォリオの資産 universalWealth と，確率変数の列についての資産の対数 seqLogWealth (InformationTheory/Shannon/Portfolio/OperationalSequences.lean) の両方を結論に含む宣言を，結論の形で探して見つからなかった．二つは形式化の側でも別のファイルにあり，一方は決まった系列について，もう一方は確率変数の列について定めてある．機械検証が及ぶのは，本文の証明が使う定理 15.8.9 の紐付け先までである．もう一方の柱である系 15.5.5 に単独の宣言がないことは，そちらに書いたとおりである．

章の問いには，これで答えが出ている．市場が i.i.d. のとき，系 15.8.12 が言っているのは， $𝑝$ を知らない者が， $𝑝$ を知って対数最適に賭ける者と，長い目で見た増え方でちょうど並ぶということである．並ぶのは $1$ 期あたりの増え方の話で，資産そのものの比について本書が言えるのは，定理 15.8.7 の $𝑒 (𝑛 + 1) 𝑚 - 1$ 以下ということだけである．万能ポートフォリオが第 $𝑖$ 期の配分を決めるのに使うのは，それまでに出た株価比だけで（命題 15.8.11），分布 $𝑝$ も， $𝑝$ から作る $𝑏 *$ も要らない．第5章から本章まで，賭け方や運用の良さの尺度として倍加率をとってきた．i.i.d. な市場でその値に届くのに，分布の知識は要らなかった．

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